2010-广东卷理-05 单-充分条件与必

本题导读

本题考查一元二次方程有实根的判别式条件以及充分不必要条件的逻辑判定。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） “$m<\frac{1}{4}$” 是 “一元二次方程 $x^2+x+m=0$ 有实数解” 的()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　　　B. 充分必要条件

C. 必要非充分条件　　　　　　　　　　　　D. 非充分非必要条件

🔍【思路分析】

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1. 求出方程 $x^2+x+m=0$ 有实数解的充要条件（利用判别式 $\Delta \ge 0$）。
2. 比较条件 “$m<\frac{1}{4}$” 与充要条件之间的推导关系（正推与逆推）。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

一元二次方程 $x^2+x+m=0$ 有实数解的充要条件是： $\Delta =1^2-4m\ge 0⟹m\le \frac{1}{4}$

令条件 $p:m<\frac{1}{4}$，条件 $q:m\le \frac{1}{4}$。

• 当 $m<\frac{1}{4}$ 成立时，显然有 $m\le \frac{1}{4}$ 成立，即 $p⟹q$；
• 反之，当 $m\le \frac{1}{4}$ 成立时（例如 $m=\frac{1}{4}$），$m<\frac{1}{4}$ 不一定成立，即 $q/⟹p$。

因此，“$m<\frac{1}{4}$” 是 “一元二次方程 $x^2+x+m=0$ 有实数解” 的充分非必要条件。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的逻辑关系判定、一元二次方程根的判别式。
2. 核心方法：将逻辑推导转化为集合的包含关系（若 $A⊊B$，则 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件）。
3. 避坑指南：注意方程“有实根”对应判别式 $\Delta \ge 0$，包含等号；区间 $\left(-\infty ,\frac{1}{4}\right)⊊\left(-\infty ,\frac{1}{4}\right]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于选修1-1/2-1常用逻辑用语与一元二次方程判别式结合的基础练习题。
2. 结论推广: 若条件 $p$ 对应解集 $A$，条件 $q$ 对应解集 $B$，若 $A⊊B$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-07 单-向量单位向量与充分条件
• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定