2008-安徽卷理-12 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合中的位置调整问题，重点在于理解“其余人相对顺序不变”的设定，并将其转化为位置的选择与排列问题。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ()

A. ${\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{A}}_3^2$　　　B. ${\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{A}}_6^2$　　　C. ${\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{A}}_2^2$　　　D. ${\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{A}}_5^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：从后排 8 人中选出 2 人，即 ${\mathrm{C}}_8^2$。
2. 第二步：将这 2 人插入到前排。前排原有 4 人，加入 2 人后总共构成 6 个位置。由于原有 4 人的相对顺序不变，只需在这 6 个位置中选出 2 个位置安排新加入的 2 人即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

分两步完成调整： 第一步，从后排 8 人中任选 2 人，方法数为 ${\mathrm{C}}_8^2$； 第二步，将选出的 2 人调整到前排。前排原有 4 人，调入 2 人后前排共有 6 个位置。 因为前排原有 4 人的相对顺序保持不变，所以只需从这 6 个位置中选出 2 个位置安排新调入的 2 人（由于人不同，需要排列），方法数为 ${\mathrm{A}}_6^2$。 根据分步乘法计数原理，不同调整方法的总数是 ${\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{A}}_6^2$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合问题。
2. 核心方法：选空法（或称定序问题位置分析法）。当某些元素的相对顺序固定时，总位置数选出空位留给其余元素排列即可。
3. 避坑指南：容易误用插空法算成 ${\mathrm{C}}_8^2\times 5\times 6=30{\mathrm{C}}_8^2$。第一人插入有 5 个空位，插入后前排变 5 人，第二人插入有 6 个空位，即 $5\times 6=30={\mathrm{A}}_6^2$，避免对位置总数产生混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典“定序问题”的逆向应用，源于排列组合常见模型中的特殊位置与特殊元素处理。
2. 结论推广: $n$ 个元素排成一列，其中 $m$ 个元素的相对顺序固定，则总排列数为 $\frac{{\mathrm{A}}_n^n}{{\mathrm{A}}_m^m}={\mathrm{A}}_n^{n-m}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合