2008-山东卷文-08 单-向量垂直与解三角形

本题导读

$\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$：$\sqrt{3}\cos A-\sin A=0\Rightarrow A=\frac{\pi }{3}$；$a\cos B+b\cos A=c$ 给出 $\sin C=1$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知 $a$，$b$，$c$ 为 $△ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边，向量 $\mathbf{m}=(\sqrt{3},-1)$，$\mathbf{n}=(\cos A,\sin A)$. 若 $\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$，且 $a\cos B+b\cos A=c\sin C$，则角 $A$，$B$ 的大小分别为()

A. $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}$　　　　　　B. $\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{6}$　　　　　　C. $\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}$　　　　　　D. $\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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$\sqrt{3}\cos A=\sin A\Rightarrow \tan A=\sqrt{3}\Rightarrow A=\frac{\pi }{3}$；射影定理 $a\cos B+b\cos A=c$，故 $c=c\sin C\Rightarrow C=\frac{\pi }{2}$，$B=\frac{\pi }{6}$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$ 得 $\sqrt{3}\cos A-\sin A=0$，即 $\tan A=\sqrt{3}$. 因 $A\in (0,\pi )$，故 $A=\frac{\pi }{3}$. 由射影定理 $a\cos B+b\cos A=c$，结合条件得 $c=c\sin C$，即 $\sin C=1$，$C=\frac{\pi }{2}$. 故 $B=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与射影定角

核心方法：垂直条件坐标化定 $A$，射影定理 $a\cos B+b\cos A=c$ 化简边角关系

避坑指南：$$\begin{gathered} a \\ cosB+b \\ cosA=c \end{gathered}$$ 是射影定理不是新条件；$$\begin{gathered} tanA= \\ sqrt3 \end{gathered}$$ 在 $$\begin{gathered} (0, \\ pi) \end{gathered}$$ 内只取 $$\begin{gathered} frac \\ pi3 \end{gathered}$$，别忘内角范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直配射影定角是解三角形常见入口（2009 浙江文 18、2009 山东文 17）

结论推广：推广到 $a\cos B+b\cos A$ 型齐次式整体替换

方法推广：射影定理 $a\cos B+b\cos A=c$ 当作公式储备，条件式出现即化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2010-湖北卷文-08 单-正弦定理求角
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参