2008-山东卷文-18 解-志愿者选取概率

本题导读

总数 $3\times 3\times 2=18$；(1)$A_1$ 定后 $3\times 2=6$，$P=\frac{1}{3}$；(2)对立”$B_1,C_1$ 全选中”只有 $3$ 种，$P=1-\frac{3}{18}=\frac{5}{6}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 现有 $8$ 名奥运会志愿者，其中志愿者 $A_1$，$A_2$，$A_3$ 通晓日语，$B_1$，$B_2$，$B_3$ 通晓俄语，$C_1$，$C_2$ 通晓韩语. 从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 $1$ 名，组成一个小组.

(1)求 $A_1$ 被选中的概率；

(2)求 $B_1$ 和 $C_1$ 不全被选中的概率.

🔍【思路分析】

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(1)$P=\frac{3\times 2}{3\times 3\times 2}=\frac{1}{3}$. (2)$B_1,C_1$ 全选中有 $3$ 种（日语任选），$P=1-\frac{3}{18}=\frac{5}{6}$.

✅【答案】

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(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)从 $8$ 人中选日、俄、韩各 $1$ 名，总选法 $3\times 3\times 2=18$ 种. $A_1$ 被选中时，俄语 $B_1,B_2,B_3$ 中选 $1$ 人（$3$ 种），韩语 $C_1,C_2$ 中选 $1$ 人（$2$ 种），共 $6$ 种. 故 $P(A_1\text{被选中})=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$. (2)”$B_1$ 和 $C_1$ 不全被选中”的对立事件是”$B_1$ 和 $C_1$ 都被选中”. $B_1,C_1$ 都选中时，日语从 $A_1,A_2,A_3$ 中任选 $1$ 人，共 $3$ 种，$P(\text{全选中})=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$. 故所求概率 $P=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步计数与对立事件

核心方法：按语种分步定总数，特殊元素优先；“不全”用对立事件最省力

避坑指南：”$B_1$ 和 $C_1$ 不全被选中”的对立是”两个都被选中”，此时日语有 $3$ 种选法；别把对立误当”都没选中”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：志愿者/选人模型是古典概型代表（2009 山东文 19、2010 北京文 3）

结论推广：推广到”至少""至多""恰有”的组合概率问法

方法推广：分步计数定总样本，特殊元素优先，否定式问句用对立事件

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率
• 2010-山东卷文-19 解-古典概型
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-北京卷文-03 单-古典概型