2008-山东卷理-05 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换与诱导公式的综合应用。核心意图是利用辅助角公式将复杂的三角代数式进行单名化化简，再通过观察已知角与目标角之间的数量关系，运用诱导公式实现整体代换。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 已知 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\sin \alpha =\frac{4}{5}\sqrt{3}$，则 $\sin \left(\alpha +\frac{7\pi }{6}\right)$ 的值是 ()

A. $-\frac{2\sqrt{3}}{5}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{5}$　　　　　　C. $-\frac{4}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用两角和与差的余弦公式展开 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$，并与后项 $\sin \alpha$ 合并。
2. 逆用两角和的正弦公式（辅助角公式）将已知条件化简为单个正弦函数表达式，求出 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ 的值。
3. 观察目标角 $\alpha +\frac{7\pi }{6}$ 与已知角 $\alpha +\frac{\pi }{6}$ 的差值正好为 $\pi$，利用诱导公式 $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$ 转化求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对已知条件等式左边进行展开和化简： $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\sin \alpha =\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}+\sin \alpha$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha +\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{3}{2}\sin \alpha$ 逆用两角和的正弦公式提取公因式 $\sqrt{3}$： $=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha \right)=\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ 因为已知该式等于 $\frac{4}{5}\sqrt{3}$，所以： $\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{5}\sqrt{3}⟹\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{5}$ 要求解的目标式为： $\sin \left(\alpha +\frac{7\pi }{6}\right)=\sin \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)+\pi \right]$ 根据诱导公式 $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$，得： $\sin \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)+\pi \right]=-\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{4}{5}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 的逆用，诱导公式中自变量加减 $\pi$ 的符号变号法则。
2. 核心方法：角变换与整体代换法。
3. 避坑指南：展开时注意正负号，如 $\cos (\alpha -\frac{\pi }{6})=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$，中间符号为加号，切勿记错公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中三角变换章节的经典配角思想，通过人为引入非标准角，考查对三角函数图象相位平移特征的宏观掌控。
2. 结论推广: 若已知 $A\sin \alpha +B\cos \alpha =m$，在求解关于 $\alpha +\varphi$ 的三角函数值时，均应优先将已知角和未知角化为相同的单一复合角形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-上海卷理-06 填-三角函数