2008-山东卷理-06 单-三视图

本题导读

本题考查由三视图求空间组合体的表面积。解题核心在于通过正视图、侧视图与俯视图的几何轮廓精准还原出空间组合体的结构组成及其关键线段尺寸，再利用面积公式完成计算。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ()

A. $9\pi$　　　　　　　B. $10\pi$　　　　　　　C. $11\pi$　　　　　　　D. $12\pi$

🔍【思路分析】

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1. 空间还原：正视图与侧视图上部为圆、下部为矩形，俯视图为圆，判定该组合体由一个球和一个圆柱上下拼接而成。
2. 数据读取：球的直径为 2（半径 $R=1$）；圆柱的底面直径为 2（半径 $r=1$），高 $h=3$。
3. 表面积计算：由于球与圆柱底面属于点相切接触，接触面面积为 0，因此组合体的表面积等于球的全面积、圆柱侧面积以及圆柱两个底面积之和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是一个组合体：

• 上部为一个球，由正视图知其直径为 2，则半径 $R=1$；
• 下部为一个圆柱，由正视图与俯视图知其底面直径为 2（半径 $r=1$），高 $h=3$。

由于球放置在圆柱的上底面正中央，两者在几何拓扑上属于点相切（接触面仅为一个点，面积为 0）， 因此该组合体的总表面积未受到任何遮挡，等于两立体图形表面积的完整代数和： $S_{\text{总}}=S_{\text{球}}+S_{\text{圆柱侧}}+2S_{\text{圆柱底}}$ 代入相关面积公式计算： $S_{\text{球}}=4\pi R^2=4\pi \times 1^2=4\pi$ $S_{\text{圆柱侧}}=2\pi rh=2\pi \times 1\times 3=6\pi$ $2S_{\text{圆柱底}}=2\times \pi r^2=2\pi \times 1^2=2\pi$ 故该几何体的表面积 $S_{\text{总}}=4\pi +6\pi +2\pi =12\pi$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图还原旋转体（柱、锥、球），空间组合体表面积的边界无重叠叠加。
2. 核心方法：几何体表面积公式法。
3. 避坑指南：部分考生极易产生思维定势，误认为圆柱上底面被球体遮挡了圆形面积 $\pi r^2$，从而错扣掉一个圆的面积导致误选 C ($11\pi$)。必须明确球体表面为曲面，它与平面相切时其重合面积为零。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于立体几何初步中对多面体与旋转体表面积计算的基本考查，通过将曲面与平面接触点无面积这一边缘几何常识融入题目，测试思维的严密性。
2. 结论推广: 若一个半径为 $R$ 的球与任意多面体或柱体的平面相切，其接触面均不产生面积折损，该组合体的表面积始终为各单体表面积的代数加和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

D

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2010-安徽卷文-09 单-三视图组合体表面积