2008-山东卷理-07 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。核心意图是利用等差数列的数论定义，限定在有限正整数集合中满足特定公差的项数组合数，再通过古典概型公式求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 $1,2,3,\dots ,18$ 的 $18$ 名火炬手.若从中任选 $3$ 人，则选出的火炬手的编号能组成 $3$ 为公差的等差数列的概率为 ()

A. $\frac{1}{51}$　　　　　　B. $\frac{1}{68}$　　　　　　C. $\frac{1}{306}$　　　　　　D. $\frac{1}{408}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算从 18 名火炬手中任选 3 人的所有基本事件总数。
2. 根据公差为 3 的等差数列特征，确定首项的取值范围，从而确定满足条件的基本事件数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

从 18 名火炬手中随机抽取 3 人，总的基本事件数 $N={\mathrm{C}}_{18}^3=\frac{18\times 17\times 16}{3\times 2\times 1}=816$。 设选出的 3 人编号组成公差为 3 的等差数列，记为 $(a,a+3,a+6)$。 因为最大编号为 18，所以满足 $a+6\le 18⟹a\le 12$。 由于 $a\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则 $a$ 可取 $1,2,3,\dots ,12$，共 12 种可能，即满足条件的基本事件数 $m=12$。 根据古典概型公式，所求概率为 $P=\frac{m}{N}=\frac{12}{816}=\frac{1}{68}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的概率公式，等差数列项数的边界值限定。
2. 核心方法：组合数计数法、首项估算边界法。
3. 避坑指南：计算基本事件数时容易忽略最大项不得超过 18 的限制，或者在计算 ${\mathrm{C}}_{18}^3$ 时出现代数笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材中等差数列概念与概率基础知识有机交织而成的创新型小题。
2. 结论推广: 从编号为 $1,2,\dots ,n$ 的 $n$ 个元素中任取 3 个，能组成公差为 $d$ 的等差数列的概率通式为 $P=\frac{n-2d}{{\mathrm{C}}_n^3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和