2008-山东卷理-17 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质的综合应用。第一问利用辅助角公式化简函数，结合奇偶性与周期特征确定未知参数，进而求得特殊点函数值；第二问考查图象的平移与伸缩变换，核心在于掌握变换中自变量的变化规律，并利用整体代换法求解新函数的单调递减区间。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin (\omega x+\phi )-\cos (\omega x+\phi )$ $\left(0<\phi <\pi ,\omega >0\right)$ 为偶函数，且函数 $y=f(x)$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

(1)求 $f\left(\frac{\pi }{8}\right)$ 的值；

(2)将函数 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 的单调递减区间.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用辅助角公式将 $f(x)$ 化简为 $2\sin \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{6}\right)$。由偶函数性质确定初相 $\phi$，由相邻对称轴距离确定周期 $T$，进而求出 $\omega$ 得到完整的函数解析式并代值。
2. 第二问：严格按照“左加右减”和“倍速逆算”的图象变换规律写出 $g(x)$ 的解析式，再利用余弦函数的单调性列出不等式组求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：利用辅助角公式将原函数化简： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (\omega x+\phi )-\frac{1}{2}\cos (\omega x+\phi )\right)=2\sin \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{6}\right)$

(1)因为 $f(x)$ 为偶函数，所以当 $x=0$ 时取得最值，此时满足： $\phi -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi ⟹\phi =\frac{2\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 由于 $0<\phi <\pi$，取 $k=0$ 得 $\phi =\frac{2\pi }{3}$。 此时 $f(x)=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos (\omega x)$。 又因为 $y=f(x)$ 图象的两相邻对称轴间的距离为 $\frac{\pi }{2}$，即半个周期 $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}⟹T=\pi$。 由 $\omega >0$ 得 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$。 所以 $f(x)=2\cos 2x$。 故 $f\left(\frac{\pi }{8}\right)=2\cos \left(2\times \frac{\pi }{8}\right)=2\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$。

(2)将 $f(x)=2\cos 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得到： $y=2\cos \left(2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right)=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，即将解析式中的 $x$ 替换为 $\frac{x}{4}$，得到 $g(x)$ 的解析式为： $g(x)=2\cos \left(2\cdot \frac{x}{4}-\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\right)$ 令 $2k\pi \le \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\le 2k\pi +\pi$ $(k\in \mathbf{Z})$， 各边同时加上 $\frac{\pi }{3}$ 得： $2k\pi +\frac{\pi }{3}\le \frac{x}{2}\le 2k\pi +\frac{4\pi }{3}$ 各边同时乘以 2 得： $4k\pi +\frac{2\pi }{3}\le x\le 4k\pi +\frac{8\pi }{3}(k\in \mathbf{Z})$ 所以 $g(x)$ 的单调递减区间为 $\left[4k\pi +\frac{2\pi }{3},4k\pi +\frac{8\pi }{3}\right]$ $(k\in \mathbf{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型与余弦型函数的图象变换特征，三角函数最值点与奇偶性的对应。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

• 第一问中利用偶函数条件时，最稳妥的方法是令 $\varphi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，也可以利用 $f(-x)=f(x)$ 恒成立展开对比系数。
• 第二问横坐标伸长到原来的 4 倍时，变换对象是自变量 $x$ 本身，即 $x\to \frac{x}{4}$，而不是将整个括号内的代数式除以 4，此处为经典易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中“函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象变换”章节的经典题型，将平移变换、周期变换与函数的奇偶单调性融为一体。
2. 结论推广: 若函数 $y=\cos (\omega x+\theta )$ 经过向右平移 $m$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的 $k$ 倍 ($k>1$)，变换后的解析式严格满足 $y=\cos \left(\frac{\omega }{k}x-\omega m+\theta \right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数