2008-山东卷理-18 解-二项分布

本题导读

本题考查概率与统计的综合应用。第一问通过识别甲队的独立重复试验特征，利用二项分布模型直接求出分布列与期望；第二问属于复合事件的概率计算，考查将抽象事件集合转化为具体离散变量数值组合的分类能力。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得 1 分，答错得 0 分.假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$，乙队中 3 人答对的概率分别为 $\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$，且各人正确与否相互之间没有影响.用 $\xi$ 表示甲队的总得分.

(1)求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望；

(2)用 $A$ 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 $B$ 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 $P(AB)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：甲队 3 人回答问题且答对概率相同，说明总得分 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。利用公式计算各取值概率并求期望。
2. 第二问：明确事件 $AB$ 发生的几何实质为：甲、乙两队总分之和为 3，且甲队得分大于乙队得分。由于得分为非负整数，枚举出满足条件的变量组合，利用独立事件乘法公式点算。

✅【答案】

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（1）甲队三人的答题结果相互独立且答对概率均为23，所以𝜉服从二项分布𝐵(3,23).因而𝑃(𝜉=0)=(1

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)由题意可知，甲队 3 人回答问题相互独立，且答对的概率均为 $\frac{2}{3}$， 因此随机变量 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 $P(\xi =0)={\mathrm{C}}_3^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$ $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$ $P(\xi =2)={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$ $P(\xi =3)={\mathrm{C}}_3^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^0=\frac{8}{27}$ 所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

数学期望 $E(\xi )=np=3\times \frac{2}{3}=2$。

(2)设乙队的总得分为 $\eta$，其可能取值亦为 $0,1,2,3$。 先求乙队得分 $\eta$ 的概率分布：

• $\eta =0$（全错）： $P(\eta =0)=\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{2}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{18}$；
• $\eta =1$（对 1 个）： $P(\eta =1)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2+2+1}{18}=\frac{5}{18}$。

事件 $AB$ 表示 $\xi +\eta =3$ 且 $\xi >\eta$。 由于 $\xi ,\eta \in \{0,1,2,3\}$，满足上述条件的互斥基本事件组合仅有以下两种： ① $\xi =2$ 且 $\eta =1$； ② $\xi =3$ 且 $\eta =0$。 由于甲、乙两队答题正确与否相互独立，故事件 $AB$ 的概率为： $P(AB)=P(\xi =2)\cdot P(\eta =1)+P(\xi =3)\cdot P(\eta =0)$ $=\frac{12}{27}\times \frac{5}{18}+\frac{8}{27}\times \frac{1}{18}=\frac{60+8}{486}=\frac{68}{486}=\frac{34}{243}$ 所以事件 $AB$ 的概率为 $\frac{34}{243}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验的二项分布判定，多变量离散型组合事件的条件概率分解。
2. 核心方法：模型公式法、分类枚举法。
3. 避坑指南：

• 第一问必须严谨画出分布列表格，格式不规范会导致高考失分。
• 第二问计算乙队得分概率时不能套用二项分布公式，因为乙队 3 人的答对概率不全相等（分别为 $\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$），必须采用独立事件乘法公式分拆点算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于概率论中独立同分布（i.i.d.）与非同分布试验序列的混合对比，考查考生对二项分布适用边界的精确区分。
2. 结论推广: 设随机变量 $X\sim B(n,p)$， $Y$ 为 $n$ 个独立非同分布的伯努利试验之和，则联合事件 $P(X+Y=k,X>Y)$ 的概率可通过对 $X$ 分类离散化为 ${\sum }_{m>k-m}P(X=m)P(Y=k-m)$ 进行求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率