2008-广东卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查平面向量基本定理及其应用。利用平行四边形几何特征以及三点共线的向量共线定理，建立方程组求解未知向量的基底表示。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$E$ 是线段 $OD$ 的中点，$AE$ 的延长线与 $CD$ 交于点 $F$.若 $\overrightarrow{AC}=\mathbf{a},\overrightarrow{BD}=\mathbf{b}$，则 $\overrightarrow{AF}=$ ()

A. $\frac{1}{4}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}$　　B. $\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$　　C. $\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{4}\mathbf{b}$　　D. $\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

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1. 选择以 $\overrightarrow{AC}=\mathbf{a},\overrightarrow{BD}=\mathbf{b}$ 为基底，通过 $O$ 点转化出各关键顶点的向量表达。
2. 利用 $A,E,F$ 三点共线，设 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AE}$。
3. 利用 $C,F,D$ 三点共线，建立关于参数的方程，求得结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

以交点 $O$ 为参考原点： 因为 $O$ 是 $AC$ 和 $BD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\mathbf{b}$。

因为 $E$ 是 $OD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\mathbf{b}$。 由此可得：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{4}\mathbf{b}$。

由于 $A,E,F$ 三点共线，设 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AE}=\frac{\lambda }{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda }{4}\mathbf{b}$。 则 $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AF}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda }{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda }{4}\mathbf{b}=\frac{\lambda -1}{2}\mathbf{a}+\frac{\lambda }{4}\mathbf{b}$。

又因为 $F$ 在线段 $CD$ 上（即 $C,F,D$ 三点共线），存在实数 $t$ 使得： $\overrightarrow{OF}=(1-t)\overrightarrow{OC}+t\overrightarrow{OD}=\frac{1-t}{2}\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}$。

根据平面向量基本定理，对应系数相等： $\{\begin{array}{l}\frac{\lambda -1}{2}=\frac{1-t}{2}\\ \frac{\lambda }{4}=\frac{t}{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\lambda -1=1-t\\ \lambda =2t\end{array}$ 解得 $t=\frac{2}{3}$，$\lambda =\frac{4}{3}$。

将其代入 $\overrightarrow{AF}$ 中得： $\overrightarrow{AF}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{4}\mathbf{b}\right)=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}$。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理，三点共线的向量充要条件（$P,A,B$ 共线 $⟺\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$）。
2. 核心方法：建系法或基底法。本题选择交点 $O$ 作为基准点可以极大简化各顶点的向量计算。
3. 避坑指南：向量的方向不可弄反（例如 $\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）；使用共线定理时注意系数和为 1 的条件要在同起点向量中应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是平面几何中梅涅劳斯定理（或相似三角形比例性质）在平面向量中的经典投射，体现了数形结合思想。
2. 结论推广: 在 $△ACD$ 中，若 $O$ 是 $AC$ 中点，$E$ 分分案满足 $\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OD}$，则 $AE$ 延长线隔开 $CD$ 满足比例 $CF:FD=1:k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线