2008-江苏卷-03 填-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算：分子分母同乘共轭复数，化简后读出实部与虚部。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 若将复数 $\frac{1+i}{1-i}$ 表示为 $a+bi$（$a$，$b\in \mathbf{R}$，$i$ 是虚数单位）的形式，则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：分子分母同乘 $1+i$。
2. 化为 $a+bi$ 形式后求 $a+b$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{2i}{2}=i$。 所以 $a=0$，$b=1$，$a+b=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法与实虚部

核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数

避坑指南：除法结果 $i$ 的实部是 $0$ 不是 $1$；先化简再读 $a$、$b$，避免把 $\frac{2i}{2}$ 误读成 $1+i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 天津文第 1 题、2011 江苏卷第 3 题同考复数除法。

结论推广：$\frac{1+i}{1-i}=i$ 是高频结论，可当公式积累。

方法推广：分母实数化一步到位，再用共轭关系核对虚部符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2010-浙江卷文-03 单-复数除法运算
• 2011-江苏卷-03 填-复数方程与实部
• 2010-江苏卷-02 填-复数的模