2010-浙江卷文-03 单-复数除法运算

本题导读

考查复数除法。$\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(5-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{2}=\frac{4-6\mathrm{i}}{2}=2-3\mathrm{i}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 设 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 $\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=$()

A. $-2-3\mathrm{i}$　　　　B. $-2+3\mathrm{i}$　　　　C. $2-3\mathrm{i}$　　　　D. $2+3\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同乘 $1-\mathrm{i}$：分母 $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=2$。
2. 分子 $(5-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=5-5\mathrm{i}-\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=4-6\mathrm{i}$。
3. 结果为 $2-3\mathrm{i}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(5-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{5-6\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{4-6\mathrm{i}}{2}=2-3\mathrm{i}.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法

核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数

避坑指南：$(5-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$ 展开时 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 别丢负号；分母 $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=2$ 是实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法的实质是分母实数化。

结论推广：$\mathrm{i}$ 的幂周期：${\mathrm{i}}^2=-1$，${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$，${\mathrm{i}}^4=1$。

方法推广：结果要写成 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式再比对选项。

🔗【关联脉络】

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