2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角

本题导读

本题考查数量积与模长的关系：$|\vec{x}{|}^2={\vec{x}}^2$，展开 $|5\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ 代入夹角即可。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 已知向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，$|\mathbf{a}|=1$，$|\mathbf{b}|=3$，则 $|5\mathbf{a}-\mathbf{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先平方：$|5\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=25{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-10\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. 由夹角 $120^{\circ }$ 求 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，再开方。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 120^{\circ }=1\times 3\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$。 $|5\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=25|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-10\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=25+9-10\times \left(-\frac{3}{2}\right)=49$。 所以 $|5\mathbf{a}-\mathbf{b}|=7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与夹角的数量积表示

核心方法：$|\vec{x}{|}^2={\vec{x}}^2$ 展开后代入夹角

避坑指南：$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 的负号最易丢；展开式中间项系数是 $2\times 5$，不是 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅱ文第 6 题、2009 天津文第 15 题同型。

结论推广：$|\vec{x}\pm \vec{y}{|}^2$ 展开式是模长问题的通用入口。

方法推广：先平方再开方，夹角为钝角时中间项为正要留心符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-湖南卷文-04 单-中点向量和