2008-江苏卷-10 填-三角形数阵

本题导读

本题考查数阵规律：第 $n$ 行有 $n$ 个数，前 $n-1$ 行共 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个数，由此定位第 $n$ 行第 $3$ 个数。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 将全体正整数排成一个三角形数阵： $1$ $23$ $456$ $78910$ $\cdots$ 根据以上排列规律，数阵中第 $n$（$n⩾3$）行的从左向右的第 $3$ 个数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 前 $n-1$ 行共有 $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ 个数。
2. 第 $n$ 行从左向右第 $3$ 个数就是全体正整数中的第 $\frac{n(n-1)}{2}+3$ 个。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{n(n-1)}{2}+3$

✍【详细解析】

Abstract

第 $1$ 行 $1$ 个数，第 $2$ 行 $2$ 个数，依此类推第 $n$ 行有 $n$ 个数。 前 $n-1$ 行共有 $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ 个数，即第 $n-1$ 行末尾的数是 $\frac{n(n-1)}{2}$。 因此第 $n$ 行从左向右第 $3$ 个数为 $\frac{n(n-1)}{2}+3$。 检验：$n=3$ 时为 $\frac{3\times 2}{2}+3=6$，与数阵中第 $3$ 行第 $3$ 个数一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数阵规律与等差求和

核心方法：先数前行总数，再定位目标

避坑指南：第 $n$ 行第 $3$ 个数 $=$ 前 $n-1$ 行总数加 $3$；行数从 $1$ 数起，$n⩾3$ 保证第 $3$ 个数存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 上海文第 12 题、2011 陕西文第 13 题同为数阵与规律题。

结论推广：数阵问题转化为”第几个数”的等差求和定位。

方法推广：先用具体小行验证通项，再写一般结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-12 填-数阵对角线求和
• 2010-福建卷文-16 填-归纳推理系数规律
• 2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理
• 2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律