2010-福建卷文-16 填-归纳推理系数规律

本题导读

考查归纳推理。$m=512$，$n=-400$，$p=50$，$m-n+p=962$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 观察下列等式： ① $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$； ② $\cos 4\alpha =8{\cos }^4\alpha -8{\cos }^2\alpha +1$； ③ $\cos 6\alpha =32{\cos }^6\alpha -48{\cos }^4\alpha +18{\cos }^2\alpha -1$； ④ $\cos 8\alpha =128{\cos }^8\alpha -256{\cos }^6\alpha +160{\cos }^4\alpha -32{\cos }^2\alpha +1$； ⑤ $\cos 10\alpha =m{\cos }^{10}\alpha -1280{\cos }^8\alpha +1120{\cos }^6\alpha +n{\cos }^4\alpha +p{\cos }^2\alpha -1$. 可以推测，$m-n+p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首系数规律：$2,8,32,128$ 为 $2^1,2^3,2^5,2^7$，故 $m=2^9=512$。
2. 用 $\cos 10\alpha =2\cos 2\alpha \cos 8\alpha -\cos 6\alpha$ 展开核对： $2(2c^2-1)(128c^8-256c^6+160c^4-32c^2+1)-(32c^6-48c^4+18c^2-1)$ $=512c^{10}-1280c^8+1120c^6-400c^4+50c^2-1$。
3. 故 $n=-400$，$p=50$，$m-n+p=512+400+50=962$。

✅【答案】

点击查看答案

$962$

✍【详细解析】

Abstract

由前四式，$\cos 2k\alpha$ 的最高次项系数依次为 $2,8,32,128$，即 $2^1,2^3,2^5,2^7$， 故 $\cos 10\alpha$ 的最高次项系数 $m=2^9=512$. 记 $c=\cos \alpha$，由积化和差 $\cos 10\alpha +\cos 6\alpha =2\cos 2\alpha \cos 8\alpha$，得 $\cos 10\alpha =2\cos 2\alpha \cos 8\alpha -\cos 6\alpha .$ 代入②③④对应的展开式： $2(2c^2-1)(128c^8-256c^6+160c^4-32c^2+1)-(32c^6-48c^4+18c^2-1)$ $=512c^{10}-1280c^8+1120c^6-400c^4+50c^2-1.$ 对照⑤得 $n=-400$，$p=50$，故 $m-n+p=512-(-400)+50=962.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理与倍角系数规律

核心方法：首系数规律 $2,8,32,128\Rightarrow m=2^9$；积化和差展开定 $n$、$p$

避坑指南：$\cos 10\alpha =2\cos 2\alpha \cos 8\alpha -\cos 6\alpha$ 中减的是 $\cos 6\alpha$ 不是加；$-1280$ 已在⑤中给出，可与展开式核对自检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理题 = 找规律 + 验证；本题规律在最高次项系数 $2^{2k-1}$。

结论推广：$\cos (n+2)\alpha =2\cos 2\alpha \cos n\alpha -\cos (n-2)\alpha$ 的递推来自积化和差。

方法推广：$m-n+p$ 的组合把三个未知系数串在一个式子里，逐个确定后代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理
• 2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律
• 2012-陕西卷文-12 填-归纳推理不等式
• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式