2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律

本题导读

本题考查归纳推理，以及等差数列的通项。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 观察下列事实：$|x|+|y|=1$ 的不同整数解 $(x,y)$ 的个数为 $4$，$|x|+|y|=2$ 的不同整数解 $(x,y)$ 的个数为 $8$，$|x|+|y|=3$ 的不同整数解 $(x,y)$ 的个数为 $12$，$\cdots$，则 $|x|+|y|=20$ 的不同整数解 $(x,y)$ 的个数为()

A. $76$　　　　　　　B. $80$　　　　　　　C. $86$　　　　　　　D. $92$

🔍【思路分析】

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个数规律为 $4n$，$|x|+|y|=20$ 时个数为 $4\times 20=80$，故选 B

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

整数解个数依次为 $4,8,12,\cdots$，构成首项为 $4$、公差为 $4$ 的等差数列，第 $n$ 项为 $4n$。

故 $|x|+|y|=20$ 时个数为 $4\times 20=80$。

（可验证：$|x|+|y|=n$ 时，$x$ 取 $-n,\cdots ,n$ 共 $2n+1$ 个值，除 $x=0$ 外 $y$ 各有 $2$ 个取值，共 $2n+2\times 2n=4n+2-2=4n$ 个整数解，与归纳一致。）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理；等差数列通项公式

核心方法：由前三个特例归纳个数规律 $a_n=4n$，再用通项求第 $20$ 项

避坑指南：归纳出的规律最好像解析中那样用 $|x|+|y|=n$ 的结构加以说明（$x$ 有 $2n+1$ 种取法），防止把公差看错成 $2$ 或 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理找规律题，与 2012 年陕西卷文第 12 题、2013 年陕西卷文第 13 题同族。

结论推广：$|x|+|y|=n$ 的整数解个数为 $4n$；这一结论在网格路径计数、曼哈顿距离问题中会反复出现。

方法推广：归纳推理题三步：列特例 → 猜通项 → （能验证时）用结构说明猜想的合理性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-12 填-归纳推理不等式
• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2014-福建卷文-16 填-合情推理