2008-江西卷文-14 填-双曲线渐近线方程

本题导读

由渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 得 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；顶点 $(a,0)$ 到渐近线的距离 $\frac{a}{2}=1$ 定出 $a=2$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的两条渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为　　　.

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$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；点 $(a,0)$ 到 $\sqrt{3}x-3y=0$ 的距离 $d=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{12}}=\frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2$，$b^2=\frac{4}{3}$.

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

由渐近线方程得 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即 $a=\sqrt{3}b$. 右顶点 $(a,0)$ 到渐近线 $\sqrt{3}x-3y=0$ 的距离为 $d=\frac{|\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+9}}=\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{2}=1$，得 $a=2$. 从而 $b=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$b^2=\frac{4}{3}$. 双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4/3}=1$，即 $\frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线定方程

核心方法：渐近线斜率定 $a:b$，顶点到渐近线距离定 $a$

避坑指南：渐近线 $$\begin{gathered} y= \\ pm \\ fracbax \end{gathered}$$ 对应 $$\begin{gathered} frac{x}^2{a}^2- \\ frac{y}^2{b}^2=1 \end{gathered}$$，$a,b$ 位置别写反；距离公式分子用一般式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线渐近线定方程（2009 安徽文 6、2010 四川文 14）

结论推广：推广到渐近线过定点、离心率定 $a:b$ 等变式

方法推广：渐近线方程与标准方程的一一对应是双曲线的核心记忆点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2010-福建卷文-13 填-双曲线渐近线定b
• 2011-山东卷文-15 填-双曲线方程
• 2010-上海卷文-13 填-双曲线渐近线方向向量