2010-上海卷文-13 填-双曲线渐近线方向向量

本题导读

考查双曲线方程。$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$、$c=\sqrt{5}$ 得 $\Gamma :\frac{x^2}{4}-y^2=1$，代入 $\overrightarrow{OP}=(2a+2b,a-b)$ 得 $4ab=1$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5},0)$，${\mathbf{e}}_1=(2,1)$、${\mathbf{e}}_2=(2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP}=a{\mathbf{e}}_1+b{\mathbf{e}}_2$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $a$、$b$ 满足的一个等式是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线方向向量 $(2,\pm 1)$，故 $\frac{b_0}{a_0}=\frac{1}{2}$（$a_0,b_0$ 为双曲线实虚半轴）。
2. $c=\sqrt{5}$，$a_0^2+b_0^2=5$，解得 $a_0=2,b_0=1$，$\Gamma :\frac{x^2}{4}-y^2=1$。
3. $P=(2a+2b,a-b)$，代入：$\frac{(2a+2b{)}^2}{4}-(a-b{)}^2=1$。
4. 化简得 $4ab=1$。

✅【答案】

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$4ab=1$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线 $\Gamma :\frac{x^2}{a_0^2}-\frac{y^2}{b_0^2}=1$。 渐近线方向向量为 $(2,1)$ 与 $(2,-1)$，故 $\frac{b_0}{a_0}=\frac{1}{2}$； 又焦点 $(\sqrt{5},0)$，$a_0^2+b_0^2=5$，解得 $a_0=2$，$b_0=1$， $\Gamma :\frac{x^2}{4}-y^2=1.$ 由 $\overrightarrow{OP}=a{\mathbf{e}}_1+b{\mathbf{e}}_2=(2a+2b,a-b)$，代入双曲线方程： $\frac{(2a+2b{)}^2}{4}-(a-b{)}^2=1\Rightarrow (a+b{)}^2-(a-b{)}^2=1,$ 即 $4ab=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与标准方程

核心方法：方向向量定 $\frac{b}{a}$，焦点定 $c$，坐标代入

避坑指南：渐近线方向向量 $(2,\pm 1)$ 给出 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$ 而非 $2$；$P=(2a+2b,a-b)$ 代入后展开 $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$，别漏掉合并同类项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：用方向向量给出渐近线是上海卷对双曲线几何性质的变式考查。

结论推广：$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$ 是平方差公式的高频变形。

方法推广：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，与椭圆的 $c^2=a^2-b^2$ 不要混。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线