2011-山东卷文-15 填-双曲线方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）和椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：同焦点 $\Rightarrow c^2=7$
2. 步骤2：$e_{\text{双}}=2e_{\text{椭}}\Rightarrow a^2=4$
3. 步骤3：$b^2=c^2-a^2=3$

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$：$a_E=4$，$b_E=3$，$c_E^2=16-9=7$，离心率 $e_E=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

双曲线与椭圆同焦点（焦点在 $x$ 轴上）：$c^2=7$。

双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}=2e_E=\frac{\sqrt{7}}{2}$，故 $\frac{7}{a^2}=\frac{7}{4}$，$a^2=4$。

$b^2=c^2-a^2=7-4=3$。双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线的共同焦点；离心率的比值关系

核心方法：同焦点锁定 $c^2$，离心率倍数关系定 $a^2$，$b^2=c^2-a^2$ 收尾

避坑指南：椭圆中 $c^2=a^2-b^2$、双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，两个"$c$"的含义虽同（半焦距）但关系式方向相反，混用会得 $b^2=7+4$；焦点在 $x$ 轴上故方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，无需讨论 $y$ 轴型。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线方程题与 2012-浙江卷文-08、2013-陕西卷文-11、2014-新课标I卷文-04 同族。

结论推广：推广：与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 同焦距的双曲线族由 $c$ 固定、$a$ 自由（$0<a<c$）构成一条”共焦点曲线族”，离心率随 $a$ 减小而增大。

方法推广：共焦点问题：把两曲线的 $a,b,c$ 分开记（如 $a_E,c_H$），列清”谁等于谁”，再各用各的关系式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率
• 2013-陕西卷文-11 填-双曲线离心率
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率