2008-江西卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用。核心意图是通过三角形内角和定理及切弦化简求出特定角的三角函数值，再结合两角和差公式确定三角形形状，最终利用正弦定理求解边长。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为角 $A,B,C$ 所对的边长，$a=2\sqrt{3}$，$\tan \frac{A+B}{2}+\tan \frac{C}{2}=4$，$\sin B\sin C={\cos }^2\frac{A}{2}$.求 $A,B$ 及 $b,c$.

🔍【思路分析】

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1. 利用 $A+B=\pi -C$，将第一式中的 $\tan \frac{A+B}{2}$ 转化为 $\cot \frac{C}{2}$，切弦化简求出 $\sin C$ 的值。
2. 利用二倍角公式与和差化积公式展开第二式，求得 $\cos (B-C)=1$，判定 $△ABC$ 为以 $B=C$ 的等腰三角形，从而排除钝角可能，锁定 $A,B,C$ 的大小。
3. 借助正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 求解边长 $b$ 和 $c$。

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$A=\frac{2\pi }{3},B=\frac{\pi }{6},b=2,c=2$

✍【详细解析】

Abstract

解：在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$。 代入第一个条件中得： $\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)+\tan \frac{C}{2}=\cot \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}=4$

将切函数化为弦函数通分： $\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}+\frac{\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{C}{2}}=\frac{{\cos }^2\frac{C}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sin C}=\frac{2}{\sin C}=4$ 解得： $\sin C=\frac{1}{2}$ 因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $C=\frac{\pi }{6}$ 或 $C=\frac{5\pi }{6}$。

对于第二个条件 $\sin B\sin C={\cos }^2\frac{A}{2}$，利用积化和差及二倍角降幂公式展开： $\frac{1}{2}[\cos (B-C)-\cos (B+C)]=\frac{1+\cos A}{2}$ 因为 $\cos (B+C)=\cos (\pi -A)=-\cos A$，代入上式化简得： $\frac{1}{2}[\cos (B-C)+\cos A]=\frac{1+\cos A}{2}⟹\cos (B-C)=1$ 因为 $B,C$ 为三角形内角，$-\pi <B-C<\pi$，所以： $B-C=0⟹B=C$

• 若 $C=\frac{5\pi }{6}$，则 $B=\frac{5\pi }{6}$，此时 $B+C=\frac{5\pi }{3}>\pi$，不符合题意，舍去。
• 若 $C=\frac{\pi }{6}$，则 $B=\frac{\pi }{6}$。

从而求得角 $A$： $A=\pi -B-C=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$

因为 $B=C$，所以 $b=c$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\frac{2\sqrt{3}}{\sin \frac{2\pi }{3}}=\frac{b}{\sin \frac{\pi }{6}}⟹\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{1}{2}}$ 解得： $b=2$ 所以 $b=2,c=2$。

综上所述，$A=\frac{2\pi }{3},B=\frac{\pi }{6},b=2,c=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\tan (\frac{\pi }{2}-x)=\cot x$；对同角三角代数式 $\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}$ 的熟练变形；正弦定理的计算。
2. 核心方法：切弦化简法与公式降幂法。
3. 避坑指南：由 $\sin C=\frac{1}{2}$ 解出角度时，千万不能漏掉钝角 $\frac{5\pi }{6}$ 的可能性，必须在下一步结合三角形内角和整体架构进行逻辑舍弃，确保论证的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查解三角形基本工具（正弦定理、内角和关系）与三角恒等变换的大型经典交汇综合题。
2. 结论推广: 在任何非直角 $△ABC$ 中，恒存在代数等式 $\tan \frac{A+B}{2}+\tan \frac{C}{2}=2\csc C$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值
• 2010-辽宁卷文-17 解-正弦定理与三角形形状