2008-浙江卷文-21 解-三次函数切线最值

本题导读

本题第(1)问由 $f^{\prime }(1)=3$ 定 $a$，再求切线方程；第(2)问沿用 $a=0$，用 $f^{\prime }(x)⩾0$ 说明单调递增，求闭区间最大值。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x^2(x-a)$.

(1)若 $f^{\prime }(1)=3$，求 $a$ 的值及曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2)求 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值.

🔍【思路分析】

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1. (1) 展开 $f(x)=x^3-a{x}^2$，求导 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax$，由 $f^{\prime }(1)=3$ 解 $a$，再写切线方程。
2. (2) 代入 $a=0$ 得 $f(x)=x^3$，用 $f^{\prime }(x)=3x^2⩾0$ 判断单调性，求最大值。

✅【答案】

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(1)$a=0$，切线 $y=3x-2$；(2)最大值 $8$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $f(x)=x^3-a{x}^2$，得 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax$。由 $f^{\prime }(1)=3$，得 $3-2a=3$，所以 $a=0$。 此时 $f(x)=x^3$，点 $(1,f(1))=(1,1)$，且切线斜率为 $f^{\prime }(1)=3$。 因此切线方程为 $y-1=3(x-1)$，即 $y=3x-2$。 (2)第二问沿用第一问所确定的参数值 $a=0$，所以 $f(x)=x^3$，且 $f^{\prime }(x)=3x^2⩾0$（$0⩽x⩽2$）。 因此 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上单调递增，最大值在 $x=2$ 处取得。由于 $f(2)=2^3=8$， 所以 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值为 $8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的切线与最值

核心方法：求导定参数，单调性求闭区间最值

避坑指南：(2) 沿用 $a=0$ 而非重新讨论；$f^{\prime }(x)=3x^2⩾0$ 说明单调递增，最大值在端点 $x=2$ 取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江卷文第 21 题、2009 重庆文第 10 题同考三次函数。

结论推广：三次函数求导后讨论单调性，闭区间最值比较端点与驻点。

方法推广：切线问题切点在曲线上、斜率等于导数两个条件并用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2009-重庆卷文-10 单-三次函数平移交点
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象