2008-浙江卷理-09 单-圆

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、圆的几何性质与向量方程。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $\vec{a},\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 建立以 $\vec{a},\vec{b}$ 所在直线为坐标轴的平面直角坐标系。
2. 设出动向量 $\vec{c}$ 的坐标，将已知数量积方程转化为代数方程，识别其几何轨迹为圆。
3. 利用圆的几何性质求解动点到原点距离的最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a},\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，以其交点为原点，分别以 $\vec{a},\vec{b}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。 则 $\vec{a}=(1,0)$， $\vec{b}=(0,1)$。 设向量 $\vec{c}=(x,y)$，则有： $\vec{a}-\vec{c}=(1-x,-y),\vec{b}-\vec{c}=(-x,1-y)$ 由 $(\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$ 可得坐标方程： $(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=0⟹x^2-x+y^2-y=0$ 配方整理得圆的方程： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$ 此轨迹是以 $O^{\prime }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 为圆心，半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆。 $|\vec{c}|$ 的几何意义为圆上的动点到原点 $O(0,0)$ 的距离。 原点 $O$ 到圆心 $O^{\prime }$ 的距离为 $d=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 根据圆的性质，点到圆上各点距离的最大值为： $|\vec{c}{|}_{\max }=d+R=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标化思想；圆的向量方程 $(\vec{x}-{\vec{x}}_A)\cdot (\vec{x}-{\vec{x}}_B)=0$ 表示以 $AB$ 为直径的圆。
2. 核心方法：直角坐标系法。
3. 避坑指南：注意最大距离是“d + R”，不要误算为直径 $\sqrt{2}$ 或是仅算到圆心的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中平面向量数量积与解析几何圆的方程交叉融汇的经典考查模型。
2. 结论推广：已知定点 $A,B$，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，则动点 $P$ 的轨迹是以线段 $AB$ 为直径的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线