2008-浙江卷理-10 单-圆

本题导读

本题考查空间线面位置关系、圆柱面的定义与截面性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 如图， $AB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段， $A$ 为斜足. 若点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内运动，使得 $\Delta ABP$ 的面积为定值，则动点 $P$ 的轨迹是 ()

A. 圆　　　　B. 椭圆　　　　C. 一条直线　　　　D. 两条平行直线

🔍【思路分析】

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1. 分析 $\Delta ABP$ 面积公式，由于底边 $AB$ 长度固定，面积为定值等价于点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为定值。
2. 在三维空间中，到定直线距离为定值的点的轨迹是一个以该直线为轴线的圆柱面。
3. 点 $P$ 同时又在平面 $\alpha$ 内，故 $P$ 的轨迹是圆柱面与平面 $\alpha$ 的交线。因为直线 $AB$ 与平面斜交，判定截面形状。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在 $\Delta ABP$ 中，底边 $AB$ 的长度是固定的。 由 $S_{\Delta ABP}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d$ （其中 $d$ 为点 $P$ 到直线 $AB$ 的空间距离）可知： 要使 $\Delta ABP$ 的面积为定值，只需动点 $P$ 到定直线 $AB$ 的距离保持为定值。 在三维空间中，到一条定直线距离等于定长的点的集合是一个圆柱面，该圆柱面以直线 $AB$ 为轴线。 由于点 $P$ 必须在平面 $\alpha$ 内运动，所以动点 $P$ 的轨迹就是该圆柱面与平面 $\alpha$ 的交线。 因为 $AB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段（即轴线与平面既不平行也不垂直）， 根据空间几何截面原理，一个圆柱面被一个与其轴线斜交的平面所截，得到的截面边界曲线是一条椭圆。 所以动点 $P$ 的轨迹是椭圆。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三维空间轨迹的定性分析；圆柱面的几何面截性质。
2. 核心方法：模型化归法（空间距离转化为几何体表面交线）。
3. 避坑指南：容易误选 D。误区在于只在平面 $\alpha$ 内考虑，错误地把空间轴线 $AB$ 投影看作平行线。必须立足于三维空间视角，明确点 $P$ 到空间倾斜直线 $AB$ 的距离保持不变这一关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有经典的圆柱面解析立体几何背景（Dandelin双球模型与柱面截线），考查空间想象力。
2. 结论推广：当且仅当定直线与平面垂直时，截面为圆；当定直线与平面平行时，截面为两条平行直线；当定直线与平面斜交时，截面恒为椭圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-04 单-线面位置
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-四川卷文-06 单-六棱锥线面关系