2008-浙江卷理-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹. $l$ 是过点 $Q(-1,0)$ 的直线, $M$ 是 $C$ 上(不在 $l$ 上)的动点; $A,B$ 在 $l$ 上, $MA\perp l,MB\perp x$ 轴 (如图).

(1) 求曲线 $C$ 的方程;

(2) 求出直线 $l$ 的方程, 使得 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}$ 为常数.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据到定点与到定直线距离相等的定义，可知轨迹 $C$ 为抛物线。直接利用两点间距离公式与绝对值公式列出方程，两边平方化简即可。
2. 第二问：设出直线 $l$ 的斜率 $k$ 得到方程 $y=k(x+1)$。由 $MB\perp x$ 轴确定 $B$ 点横坐标，从而求得 $B$ 的坐标并计算出 $|QB{|}^2$。由于 $MA\perp l$， $|QA|$ 即为向量 $\overrightarrow{QM}$ 在直线 $l$ 方向上的投影长度，利用向量数量积写出其表达式。最后将比值写为关于 $x_0$ 的分式，利用分子分母对应项系数成比例（配平法）消去 $x_0$ 求解 $k$。

✅【答案】

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（1）𝐶的方程为𝑦=12(𝑥2+𝑥).（2）𝑙的方程为2𝑥−𝑦+2=0.

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设 $M(x,y)$ 为曲线 $C$ 上的任意一点。 根据题意，点 $M$ 到点 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 的距离与到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 的距离相等： $\sqrt{{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{8}\right)}^2}=\left|y+\frac{5}{8}\right|$ 两边平方得： ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+y^2-\frac{3}{4}y+\frac{9}{64}=y^2+\frac{5}{4}y+\frac{25}{64}$ ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=2y+\frac{16}{64}⟹{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=2\left(y+\frac{1}{8}\right)$ 化简得曲线 $C$ 的方程为： $x^2+x=2y$。

(2) 显然直线 $l$ 的斜率存在。 设直线 $l$ 的斜率为 $k(k\ne 0)$，则其方程为 $y=k(x+1)$。 设动点 $M$ 的坐标为 $\left(x_0,\frac{x_0^2+x_0}{2}\right)$，其中 $x_0\ne -1$。 因为 $MB\perp x$ 轴，且点 $B$ 在直线 $l$ 上，所以点 $B$ 的横坐标为 $x_0$。 代入直线 $l$ 的方程得 $B(x_0,k(x_0+1))$。 由两点间距离公式，可得： $|QB{|}^2=(x_0-(-1){)}^2+(k(x_0+1)-0{)}^2=(1+k^2)(x_0+1{)}^2$ 又 $MA\perp l$，点 $A$ 是点 $M$ 在直线 $l$ 上的射影， $Q(-1,0)$ 也在直线 $l$ 上， 所以 $|QA|$ 即为向量 $\overrightarrow{QM}=\left(x_0+1,\frac{x_0^2+x_0}{2}\right)$ 在直线 $l$ 方向上的投影长度。 直线 $l$ 的一个单位方向向量为 ${\vec{u}}_0=\left(\frac{1}{\sqrt{1+k^2}},\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}\right)$，则： $|QA|=|\overrightarrow{QM}\cdot {\vec{u}}_0|=\frac{\left|1\cdot (x_0+1)+k\cdot \frac{x_0(x_0+1)}{2}\right|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|x_0+1|\cdot |1+\frac{k}{2}{x}_0|}{\sqrt{1+k^2}}$ 因此，目标比值为： $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}=\frac{(1+k^2)(x_0+1{)}^2\cdot \sqrt{1+k^2}}{|x_0+1|\cdot |1+\frac{k}{2}{x}_0|}=(1+k^2{)}^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{|x_0+1|}{|1+\frac{k}{2}{x}_0|}$ 要使上式对任意 $x_0\ne -1$ 恒为常数，分式部分必须与 $x_0$ 无关。 由对应项系数成比例得： $\frac{k}{2}=1⟹k=2$ 此时 $\frac{|x_0+1|}{|1+x_0|}=1$，比值 $\frac{|QB{|}^2}{|QA|}=5\sqrt{5}$ 为常数。 故所求直线 $l$ 的方程为 $y=2(x+1)$，即 $2x-y+2=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的标准定义与代数化简；利用向量数量积计算投影长度。
2. 核心方法：

• 射影长度法：利用向量的数量积 $\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ 代替求交点坐标再算距离的传统思路，极大地化简了运算量。
• 系数配平法：令未知数因式对应成比例，从而使变量完全抵消。

3. 避坑指南：第二问若直接通过联立垂直直线求出点 $A$ 的具体坐标，计算过程将极其繁琐且极易出错，务必优先考虑向量工具进行几何降维。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中经典的焦点弦与直角坐标系射影变换性质，利用动态图形中隐藏的三角函数关系进行代数设问。
2. 结论推广：若曲线 $C$ 为 $x^2=2py$，过点 $Q(-p,0)$ 的直线斜率为 $k$，则当 $k=2$ 时，由类似垂直投影构造的长度比值均能通过线性因式配平消除动点横坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线