2008-湖北卷文-06 单-奇函数周期求值

本题导读

$f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 已知 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是奇函数，且 $f(x+4)=f(x)$，当 $x\in (0,2)$ 时，$f(x)=2x^2$，则 $f(7)=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $-98$　　　　　　　D. $98$

🔍【思路分析】

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周期 $4$：$f(7)=f(3)=f(-1)$；奇函数：$f(-1)=-f(1)$；解析式：$f(1)=2\times 1^2=2$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x+4)=f(x)$ 知 $f(x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数，$f(7)=f(7-8)=f(-1)$. 由 $f(x)$ 是奇函数，$f(-1)=-f(1)$. 又 $1\in (0,2)$，$f(1)=2\times 1^2=2$，故 $f(7)=-2$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性与周期性

核心方法：用周期把自变量拉回已知区间，再用奇函数过原点转化

避坑指南：$f(7)=f(-1)=-f(1)$ 三步走，别把 $f(-1)$ 直接代入 $2x^2$；奇函数在 $x=0$ 处值为 $0$ 是另一条隐含信息

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数三大性质（奇偶、周期）综合的经典模型

结论推广：已知区间上的解析式 + 周期 + 奇偶性，可求任意点函数值：先周期平移到已知区间附近，再奇偶翻转

方法推广：周期为 $T$ 时 $f(x+nT)=f(x)$，把大自变量用”降模”处理，最后一步才动用解析式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-07 单-图象平移奇函数
• 2011-湖北卷文-03 单-奇偶分解解析式
• 2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期
• 2008-湖北卷理-06