2009-湖北卷文-07 单-图象平移奇函数

本题导读

考查图象平移。$\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{6},2\right)$ 时新解析式为 $y=-\sin 2x$，为奇函数，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 函数 $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-2$ 的图象 $F$ 按向量 $\mathbf{a}$ 平移到 $F^{\prime }$，$F^{\prime }$ 的解析式 $y=f(x)$，当 $y=f(x)$ 为奇函数时，向量 $\mathbf{a}$ 可以等于 ()

A. $\left(\frac{\pi }{6},-2\right)$　　　　B. $\left(\frac{\pi }{6},2\right)$　　　　C. $\left(-\frac{\pi }{6},-2\right)$　　　　D. $\left(-\frac{\pi }{6},2\right)$

🔍【思路分析】

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1. 按向量 $\mathbf{a}=(m,n)$ 平移后：$y=\cos \left[2(x-m)+\frac{\pi }{6}\right]-2+n$。
2. 逐一验证：取 $m=-\frac{\pi }{6}$，$n=2$：$y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$，为奇函数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

图象 $F$ 按向量 $\mathbf{a}=(m,n)$ 平移后，所得图象的解析式为 $y=\cos \left[2(x-m)+\frac{\pi }{6}\right]-2+n$。 取 $m=-\frac{\pi }{6}$，$n=2$，得 $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-0=-\sin 2x$，为奇函数。 故 $\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{6},2\right)$ 时 $f(x)$ 为奇函数，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象平移与奇函数

核心方法：平移公式 $(x,y)\to (x+m,y+n)$；诱导公式 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$

避坑指南：按 $\mathbf{a}=(m,n)$ 平移后解析式是 $y=\cos \left[2(x-m)+\frac{\pi }{6}\right]-2+n$，$x$ 用 $x-m$ 替代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：按向量平移时新函数为 $f(x-m)+n$，向量是”加”而解析式里是”减”。

结论推广：奇函数需关于原点对称：横、纵两个平移量分别调相位与抬升。

方法推广：四选项只差符号，代入时重点核对 $2m$ 与 $\frac{\pi }{6}$ 的合成结果是否为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍。

🔗【关联脉络】

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