2008-湖南卷理-07 单-立体几何

本题导读

本题考查平面向量的线性代数运算与共线判定。通过选择三角形的一组两邻边作为基底，将所有未知向量完全转化展开，进而判定向量间的平行（共线）方向关系。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 设 $D,E,F$ 分别是 $\Delta ABC$ 的三边 $BC,CA,AB$ 上的点，且 $\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，则 $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ ()

A. 反向平行　B. 同向平行　C. 互相垂直　D. 既不平行也不垂直

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选取 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 作为平面向量的一组基底。
2. 根据已知比例条件，将目标组合向量中的 $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CF}$ 逐一用基底进行线性表示。
3. 对组合向量求和化简，得出其与 $\overrightarrow{BC}$ 的数量倍数关系，由系数的正负号判定平行方向。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

选择 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}$ 作为基底，则 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

由 $\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BD}$ 可知，点 $D$ 在边 $BC$ 上且分线段比为 $1:2$， 所以 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$。 则 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

由 $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EA}$ 可知，点 $E$ 在边 $CA$ 上且 $\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$， 则 $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

由 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$ 可知，点 $F$ 在边 $AB$ 上且 $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$， 则 $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$。

将三式相加化简： $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$ $=\left(\frac{2}{3}-1+\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1\right)\overrightarrow{AC}$ $=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

因为 $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，且系数 $-\frac{1}{3}<0$， 所以两向量共线且方向相反，即反向平行。

正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理（基底分解法）；共线向量定理 $\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$ 当 $\lambda <0$ 时反向平行。
2. 核心方法：统一基底变形法。
3. 避坑指南：向量线性拆分时注意字母箭头的先后顺序（如 $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$），防止因正负号看错导致最终求和系数不为 $-\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于经典平面几何中三角形内分点连线的向量特征进行构型，是一道考查向量基本功的传统好题。
2. 结论推广: 在 $\Delta ABC$ 中，若 $D,E,F$ 均按相同的外分或内分比例 $\lambda$ 循环截取三边，则恒有结论 $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=0$ 的重心平衡形态。而本题属于错位非中心对称截取，其最终和向量必与某条边成固定比例平行。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线