2008-湖南卷理-18 解-三角函数

本题导读

本题考查数列通项公式的求解、错位相减求和通法以及数列不等式的有界性证明。第一问利用三角函数的特殊周期性，通过奇偶项分类讨论求出通项；第二问利用错位相减法求出前 $n$ 项和，再利用数学归纳法证明有界不等式。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\left(1+{\cos }^2\frac{n\pi }{2}\right)a_n+{\sin }^2\frac{n\pi }{2},n=1,2,3,\dots$.

(1)求 $a_3,a_4$, 并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;

(2)设 $b_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}},S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. 证明: 当 $n\ge 6$ 时, $|S_n-2|<\frac{1}{n}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：分析周期项 ${\cos }^2\frac{n\pi }{2}$ 和 ${\sin }^2\frac{n\pi }{2}$ 的取值，依 $n$ 的奇偶性分类讨论：当 $n$ 为奇数时退化为等差数列，当 $n$ 为偶数时退化为等比数列，从而合并写出通项。
2. 第二问：将通项代入 $b_n=\frac{n}{2^n}$，利用错位相减法求出 $S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$。将目标不等式转化为证明 $n(n+2)<2^n$，采用数学归纳法进行严格论证。

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由 1 和 2 可知，对任意 $n\ge 6$ 的正整数，不等式 $n(n+2)<2^n$ 均成立

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 根据三角函数的周期性规律：

• 当 $n$ 为奇数时，${\cos }^2\frac{n\pi }{2}=0$, ${\sin }^2\frac{n\pi }{2}=1$；
• 当 $n$ 为偶数时，${\cos }^2\frac{n\pi }{2}=1$, ${\sin }^2\frac{n\pi }{2}=0$。

代入递推式进行计算： 当 $n=1$ 时，$a_3=(1+0)a_1+1=1+1=2$。 当 $n=2$ 时，$a_4=(1+1)a_2+0=2\times 2=4$。

下面分情况求通项公式：

• 情况①：当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k-1$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 递推式简化为 $a_{2k+1}=a_{2k-1}+1$，说明奇数项构成以 $a_1=1$ 为首项，公差 $d=1$ 的等差数列。 故 $a_{2k-1}=1+(k-1)\times 1=k$。

• 情况②：当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 递推式简化为 $a_{2k+2}=2a_{2k}$，说明偶数项构成以 $a_2=2$ 为首项，公比 $q=2$ 的等比数列。 故 $a_{2k}=2\times 2^{k-1}=2^k$。

综上所述，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n+1}{2},& n\text{ 为奇数}\\ 2^{\frac{n}{2}},& n\text{ 为偶数}\end{array}$

(2)证明： 由(1)可知，$a_{2n-1}=n$，$a_{2n}=2^n$， 故 $b_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}=\frac{n}{2^n}$。

前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}\text{(1)}$ 两边同乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}\text{(2)}$ ① - ② 得： $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2^1}+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n}{2^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{4}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}$ 两边同乘以 2 化简得： $S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$

从而可得：$|S_n-2|=\left|-\frac{n+2}{2^n}\right|=\frac{n+2}{2^n}$。 要证 当 $n\ge 6$ 时 $|S_n-2|<\frac{1}{n}$，即证：$\frac{n+2}{2^n}<\frac{1}{n}⟺n(n+2)<2^n$。

采用数学归纳法证明不等式 $n^2+2n<2^n$：

1. 当 $n=6$ 时： 左边 $=6^2+2\times 6=48$，右边 $=2^6=64$。 因为 $48<64$，所以不等式在 $n=6$ 时成立。
2. 假设当 $n=k$ ($k\ge 6,k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时不等式成立，即： $k^2+2k<2^k$ 则当 $n=k+1$ 时： 左边 $=(k+1{)}^2+2(k+1)=k^2+4k+3$。 由于 $k\ge 6$，显见 $2k>3$，且 $k^2>2k$， 故有 $2k+3<k^2+2k$。 从而可得： $(k+1{)}^2+2(k+1)=(k^2+2k)+(2k+3)<(k^2+2k)+(k^2+2k)=2(k^2+2k)$ 结合归纳假设 $k^2+2k<2^k$，进一步放大得： $2(k^2+2k)<2\times 2^k=2^{k+1}=\text{右边}$ 即当 $n=k+1$ 时不等式也成立。

综上所述，由 1 和 2 可知，对任意 $n\ge 6$ 的正整数，不等式 $n(n+2)<2^n$ 均成立。 故当 $n\ge 6$ 时， $|S_n-2|<\frac{1}{n}$ 获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三角函数奇偶项诱导递推式分支；错位相减法求和模板；数学归纳法的解题流程结构。
2. 核心方法：奇偶分离法与归纳递推法。
3. 避坑指南：第一问不要被三角函数的外壳迷惑，写出前几项即可看出规律；第二问错位相减中间的等比数列项数为 $n-1$ 项，利用求和公式时注意不要数错项数；在使用数学归纳法证明递推步时，一定要清晰表达出“如何利用上一步的假设条件”进行放大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于经典差分递推方程的分支构型进行设计，将一阶等差递推与一阶等比递推通过周期触发项融为一体，考查离散结构的组合能力。
2. 结论推广: 针对差比数列 $f(n)=\frac{n}{2^n}$ 的无穷级数求和，当 $n\to \infty$ 时，其极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=2$。这也是第二问中 $|S_n-2|$ 误差项本质上为尾项收敛速度评估的数论来源。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数