2008-福建卷文-20 解-数列递推累加

本题导读

(1) 点 $(\sqrt{a_n},a_{n+1})$ 在 $y=x^2+1$ 上即 $a_{n+1}=a_n+1$；(2) 递推即 $b_{n+1}-b_n=2^{a_n}=2^n$，累加时差是等比数列，求和后作差 $b_n{b}_{n+2}-b_{n+1}^2=-2^n<0$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是正数组成的数列，$a_1=1$，且点 $\left(\sqrt{a_n},a_{n+1}\right)$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）在函数 $y=x^2+1$ 的图象上.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，$b_{n+1}=b_n+2^{a_n}$，求证：$b_n\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^2$.

🔍【思路分析】

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(1) $a_{n+1}=(\sqrt{a_n}{)}^2+1=a_n+1$，等差得 $a_n=n$. (2) $b_{n+1}-b_n=2^n$，累加：$b_n=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$； $b_n{b}_{n+2}-b_{n+1}^2=(2^n-1)(2^{n+2}-1)-(2^{n+1}-1{)}^2=-2^n<0$，得证.

✅【答案】

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(1) $a_n=n$；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由点 $(\sqrt{a_n},a_{n+1})$ 在 $y=x^2+1$ 的图象上，得 $a_{n+1}=(\sqrt{a_n}{)}^2+1=a_n+1$. 即 $a_{n+1}-a_n=1$，又 $a_1=1$，所以 $\{a_n\}$ 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，$a_n=n$. (2) 由(1)知 $a_n=n$，故 $b_{n+1}-b_n=2^{a_n}=2^n$. 累加得 $b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\cdots +(b_2-b_1)+b_1$ $=2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots +2+1=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$. 于是 $b_n{b}_{n+2}-b_{n+1}^2=(2^n-1)(2^{n+2}-1)-(2^{n+1}-1{)}^2$ $=(2^{2n+2}-2^{n+2}-2^n+1)-(2^{2n+2}-2^{n+2}+1)=-2^n<0$. 所以 $b_n\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与累加求和

核心方法：$a_{n+1}=a_n+1$ 等差定型；$b_{n+1}-b_n=2^n$ 累加成等比求和

避坑指南：累加的对象是差 $b_{n+1}-b_n$，差为等比数列时求和用等比公式而非等差；作差分解时 $2^{n+1}$ 的平方是 $2^{2n+2}$，指数运算细心

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列配不等式证明（2013 安徽文 19、2013 广东文 19）

结论推广：差为等比的递推对应通项 $2^n-1$；差为等差对应 $n^2$ 型，两类都要会

方法推广：“求差—定型—求和—作差”四步是数列不等式证明的通用骨架

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2013-广东卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项