2008-辽宁卷理-05 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的线性运算法则，核心在于利用向量的基底分解，将已知向量关系化简为以基准起始点开头的向量线性组合形式。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 已知 $O,A,B$ 是平面上的三个点，直线 $AB$ 上有一点 $C$，满足 $2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0$，则 $\overrightarrow{OC}=$ ()

A. $2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$　B. $-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$　C. $\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$　D. $-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

🔍【思路分析】

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1. 将已知向量关系式 $2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0$ 中的各向量用以 $O$ 为起点的向量引入拆分。
2. 移项并合并同类项，孤立目标向量 $\overrightarrow{OC}$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据向量的减法运算法则，将已知条件中的向量转化为以 $O$ 为始点的向量： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$。 代入已知关系式 $2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=0$ 中，得： $2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0$ 展开并化简： $2\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=0$ $\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=0$ 移项得： $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量三角形法则与减法运算，空间/平面向量的基本定理。
2. 核心方法：终点向量减起点向量的“拆分法”。
3. 避坑指南：拆分时务必注意正负号与顺序，如 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，不可记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于定比分点公式的向量表达形式。满足 $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{CB}$ 时，点 $C$ 分有向线段 $AB$ 的比为 $\lambda$。
2. 结论推广: 若 $\lambda \overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{CB}=0$，则 $\overrightarrow{OC}=\frac{\lambda }{\lambda -\mu }\overrightarrow{OA}-\frac{\mu }{\lambda -\mu }\overrightarrow{OB}$（其中 $\lambda \ne \mu$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
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