2008-辽宁卷理-13 填-函数

本题导读

本题考查分段函数反函数的求法。核心在于对原函数的各个分支分别进行反解，并准确转化对应的自变量取值范围（即原函数各分支的值域）。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 函数 $y=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ e^x,& x\ge 0\end{array}$ 的反函数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对第一个分支 $y=x+1$ ($x<0$) 求解反函数，并确定其值域作为反函数的定义域。
2. 对第二个分支 $y=e^x$ ($x\ge 0$) 求解反函数，并确定其值域作为反函数的定义域。
3. 将两部分结果合并写成平面分段函数的形式。

✅【答案】

点击查看答案

$f^{-1}(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<1\\ \ln x,& x\ge 1\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

• 当 $x<0$ 时，$y=x+1$，由此可得 $x=y-1$。由于 $x<0$，得 $y-1<0⟹y<1$。其反函数分支为 $y=x-1$ ($x<1$)；
• 当 $x\ge 0$ 时，$y=e^x$，两边取自然对数得 $x=\ln y$。由于 $x\ge 0$，得 $\ln y\ge 0⟹y\ge 1$。其反函数分支为 $y=\ln x$ ($x\ge 1$)。

综上所述，原函数的反函数为 $y=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<1\\ \ln x,& x\ge 1\end{array}$。

答案：$y=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<1\\ \ln x,& x\ge 1\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的反函数性质，定义域与值域的互换。
2. 核心方法：分段反解法。
3. 避坑指南：求反函数时最易漏掉或错写新函数的定义域。必须牢记“原函数的值域即为反函数的定义域”，通过原自变量的范围严格推导因变量 $y$ 的边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中反函数基本定义的直接延伸，将一元一次函数与指数函数融合，用以测试数理逻辑的严密性。
2. 结论推广: 若单调分段函数 $y=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in A\\ g(x),& x\in B\end{array}$ 存在反函数，则其反函数可表示为 $y=\{\begin{array}{ll}{f}^{-1}(x),& x\in f(A)\\ g^{-1}(x),& x\in g(B)\end{array}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项