2008-辽宁卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。第一问利用面积公式与余弦定理建立方程组，通过完全平方公式直接求解边长；第二问利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式进行恒等变换，化简出关于内角的乘积式，通过分类讨论解出两种可能的三角形形态并求出各自对应的面积。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 对边的边长分别是 $a,b,c$.已知 $c=2$，$C=\frac{\pi }{3}$.

(1)若 $△ABC$ 的面积等于 $\sqrt{3}$，求 $a,b$；

(2)若 $\sin C+\sin (B-A)=2\sin 2A$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：已知面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，可求出 $ab$ 的值；再利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 得到 $a^2+b^2$ 的值，联立即可解出 $a,b$。
2. 第二问：利用三角形内角和关系将 $\sin C$ 转化为 $\sin (A+B)$，展开后与 $\sin (B-A)$ 合并化简，从而将已知条件转化为 $2\cos A(\sin B-2\sin A)=0$，分 $\cos A=0$ 和 $\sin B=2\sin A$ 两种情况讨论求解。

点击查看答案

$△ABC$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)由由三角形面积公式得 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$。 因为 $S=\sqrt{3}$，所以 $\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\sqrt{3}⟹ab=4$。 由余弦定理得：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$， 代入已知数据得：$2^2=a^2+b^2-2\times 4\times \cos \frac{\pi }{3}⟹4=a^2+b^2-4⟹a^2+b^2=8$。 因为 $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab=8-2\times 4=0$，所以 $a=b$。 又 $ab=4$ 且 $a,b>0$，所以 $a=2,b=2$。

(2)在 $△ABC$ 中， $C=\pi -(A+B)$，所以 $\sin C=\sin (A+B)$。 已知等式可化为：$\sin (A+B)+\sin (B-A)=2\sin 2A$。 利用和差化积公式或两角和差展开式化简左边： $(\sin A\cos B+\cos A\sin B)+(\sin B\cos A-\cos B\sin A)=2\sin B\cos A$。 代入原式得：$2\sin B\cos A=2\sin 2A⟹2\sin B\cos A=4\sin A\cos A$。 移项因式分解得：$2\cos A(\sin B-2\sin A)=0$。 由此分两种情况讨论： ① 当 $\cos A=0$ 时，因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{\pi }{2}$。 此时 $B=\pi -C-A=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{2\times 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$， $b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。 此时 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times \frac{4}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}$。

② 当 $\sin B-2\sin A=0$ 时，$\sin B=2\sin A$，由正弦定理得 $b=2a$。 由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 得： $4=a^2+(2a{)}^2-2a\times 2a\times \cos \frac{\pi }{3}⟹4=5a^2-2a^2⟹3a^2=4⟹a^2=\frac{4}{3}$。 此时 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times a\times 2a\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

综上所述，$△ABC$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理与余弦定理的交织应用，三角恒等变换中的切入点选择。
2. 核心方法：方程组消元法、分类讨论法。
3. 避坑指南：第(2)问中，由 $2\sin B\cos A=4\sin A\cos A$ 容易盲目约掉 $\cos A$，从而漏掉 $A=\frac{\pi }{2}$ 这一大类情况，导致答案不全。在三角方程两边约去因式时，必须对该因式是否为零进行独立讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考解三角形大题的经典经典范式，将三角形几何基本量间的代数约束与三角函数恒等变换深度交融，源于教材经典定理的拓展。
2. 结论推广: 在解三角形中，若满足 $\sin B\cos A=\sin 2A$，则该三角形必为直角三角形（$A=\frac{\pi }{2}$）或满足边长两倍关系的特殊三角形（$b=2a$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值