2008-辽宁卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题是以正方体为载体的立体几何综合大题。第一问要求通过线线垂直或法向量垂直证明面面垂直；第二问考查动态截面面积之和的代数式化简与定值判定；第三问利用线面角的已知条件反求参数，进而利用空间向量夹角公式求解另一线面角的正弦值。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，$AP=BQ=b$ ($0<b<1$)，截面 $PQEF\parallel A^{\prime }D$，截面 $PQGH\parallel A{D}^{\prime }$.

(1)证明：平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直；

(2)证明：截面 $PQEF$ 和截面 $PQGH$ 面积之和是定值，并求出这个值；

(3)若 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQEF$ 所成的角为 $45^{\circ }$，求 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQGH$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系，用参数 $b$ 表示各关键点的坐标及截面方向向量。
2. 第一问：分别求出平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 的法向量，验证其点乘是否为 0。
3. 第二问：判定出两个截面均为矩形，写出其边长的代数式，直接求和消去参数 $b$。
4. 第三问：利用线面角公式 $\sin 45^{\circ }=\frac{|\cos ⟨\overrightarrow{D^{\prime }E},\overrightarrow{n_1}⟩|}{1}$ 建立关于 $b$ 的方程，求出 $b$ 的值，再代入第二个平面的线面角公式点乘求解。

✅【答案】

点击查看答案

所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐷′𝐸= (1, 𝑏−1, −1)

✍【详细解析】

Abstract

解：以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 则 $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$。 由 $AP=BQ=b$ 得 $P(0,0,b)$, $Q(1,0,b)$，从而 $\overrightarrow{PQ}=(1,0,0)$。

(1)证明： 因为 $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$，且截面 $PQEF\parallel A^{\prime }D$， 设平面 $PQEF$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{PQ}=x_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }D}=y_1-z_1=0\end{array}⟹\text{取 }\overrightarrow{n_1}=(0,1,1)$ 同理，$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,1,1)$，且截面 $PQGH\parallel A{D}^{\prime }$， 设平面 $PQGH$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{PQ}=x_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{A{D}^{\prime }}=y_2+z_2=0\end{array}⟹\text{取 }\overrightarrow{n_2}=(0,1,-1)$ 计算两个法向量的点积：$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\times 0+1\times 1+1\times (-1)=0$。 因为 $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$，所以平面 $PQEF\perp$ 平面 $PQGH$。

(2)证明： 由平面 $PQEF$ 满足 $y+z=b$，令 $z=0$ 得 $y=b$，故交点 $F(0,b,0)$, $E(1,b,0)$。 因为 $PQ\parallel FE=1$，且 $\overrightarrow{PF}=(0,b,-b)$，其模长 $|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{b^2+(-b{)}^2}=b\sqrt{2}$。 由于 $PQ\perp PF$，截面 $PQEF$ 为矩形，其面积 $S_1=1\times b\sqrt{2}=b\sqrt{2}$。 由平面 $PQGH$ 满足 $z-y=b$，令 $z=1$ 得 $y=1-b$，故交点 $H(0,1-b,1)$, $G(1,1-b,1)$。 同理可得 $PQ\parallel HG=1$，$\overrightarrow{PH}=(0,1-b,1-b)$，其模长 $|\overrightarrow{PH}|=(1-b)\sqrt{2}$。 由于 $PQ\perp PH$，截面 $PQGH$ 为矩形，其面积 $S_2=1\times (1-b)\sqrt{2}=(1-b)\sqrt{2}$。 两截面面积之和 $S=S_1+S_2=b\sqrt{2}+(1-b)\sqrt{2}=\sqrt{2}$（定值）。

(3)解： 由已知得 $D^{\prime }(0,1,1)$, $E(1,b,0)$，则 $\overrightarrow{D^{\prime }E}=(1,b-1,-1)$， 其模长 $|\overrightarrow{D^{\prime }E}|=\sqrt{1^2+(b-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{b^2-2b+3}$。 设 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQEF$ 所成的角为 $\alpha =45^{\circ }$，由线面角公式得： $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{D^{\prime }E}\cdot \overrightarrow{n_1}|}{|\overrightarrow{D^{\prime }E}|\cdot |\overrightarrow{n_1}|}=\frac{|0+(b-1)-1|}{\sqrt{b^2-2b+3}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2-b}{\sqrt{2(b^2-2b+3)}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 两边平方化简： $\frac{(2-b{)}^2}{2(b^2-2b+3)}=\frac{1}{2}⟹b^2-4b+4=b^2-2b+3⟹2b=1⟹b=\frac{1}{2}$ 当 $b=\frac{1}{2}$ 时，$\overrightarrow{D^{\prime }E}=\left(1,-\frac{1}{2},-1\right)$， $|\overrightarrow{D^{\prime }E}|=\sqrt{\frac{1}{4}-1+3}=\frac{3}{2}$。 设 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQGH$ 所成的角为 $\beta$，则： $\sin \beta =\frac{|\overrightarrow{D^{\prime }E}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{D^{\prime }E}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+\left(-\frac{1}{2}\right)+1|}{\frac{3}{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ 所以 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQGH$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的向量判别法，截面图形的几何性质，线面角夹角公式。
2. 核心方法：建系向量坐标代数法。面对含动元 $b$ 且多角度变化的截面题型，建系法能将复杂的空间视感降维成纯代数点乘。
3. 避坑指南：

• 第(2)问中求矩形边长时，向量减法极易写错坐标方向，必须严格执行终点减起点。
• 第(3)问方程两边平方时，需注意 $2-b$ 在 $b\in (0,1)$ 时恒为正，无须分情况，但必须复核根的合理性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题借由正方体中两组相互垂直的对角面方向，构建出了一对动态互补的直纹截面。其深层背景是解析几何中空间旋转变换与射影面积的守恒律。
2. 结论推广: 在棱长为 1 的正方体中，若两个截面分别与互为垂直的面对角线平行，则其在对应的投影面上的正射影面积之和为一个常数，即两截面面积之和恒为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直