2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直

本题导读

考查线面平行与垂直的证明。（1）$EF\parallel AO$ 且 $EF=AO=1$，$AF\parallel OE\subset$ 面 $BDE$；（2）$BD\perp$ 面 $ACEF$ 得 $BD\perp CF$，再算 $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{CF}=0$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 如图，正方形 $ABCD$ 和四边形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直，$EF\parallel AC$，$AB=\sqrt{2}$，$CE=EF=1$.

(1)求证：$AF\parallel$ 平面 $BDE$；

(2)求证：$CF\perp$ 平面 $BDE$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $AC\cap BD=O$，$AC=2$，$AO=1=EF$ 且 $EF\parallel AO$，故 $AOFE$ 为平行四边形，$AF\parallel OE$。
2. $OE\subset$ 平面 $BDE$，故 $AF\parallel$ 平面 $BDE$。
3. $BD\perp AC$ 且两面垂直，故 $BD\perp$ 平面 $ACEF$，$BD\perp CF$。
4. 在平面 $ACEF$ 内设 $A(0,0)$，$C(2,0)$，$E=(2+\cos \theta ,\sin \theta )$，则 $F=(1+\cos \theta ,\sin \theta )$，$\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{CF}={\cos }^2\theta -1+{\sin }^2\theta =0$。
5. $CF\perp OE$ 且 $CF\perp BD$，故 $CF\perp$ 平面 $BDE$。

✅【答案】

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(1) (2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $AC\cap BD=O$。 正方形 $ABCD$ 边长 $AB=\sqrt{2}$，故对角线 $AC=2$，$AO=OC=1$。 （1）因为 $EF\parallel AC$，即 $EF\parallel AO$，且 $EF=1=AO$， 所以四边形 $AOFE$ 是平行四边形，$AF\parallel OE$。 又 $OE\subset$ 平面 $BDE$，而 $AF$ 不在平面 $BDE$ 内， 所以 $AF\parallel$ 平面 $BDE$。 （2）正方形中 $BD\perp AC$。 因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $ACEF$，交线为 $AC$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$ 且 $BD\perp AC$， 所以 $BD\perp$ 平面 $ACEF$，从而 $BD\perp CF$。 下面证明 $CF\perp OE$。 在平面 $ACEF$ 内取坐标：$A(0,0)$，$C(2,0)$，$O(1,0)$。 设 $E=(2+\cos \theta ,\sin \theta )$（由 $CE=1$）， 由 $EF\parallel AC$ 且 $EF=1$，得 $F=(1+\cos \theta ,\sin \theta )$。 于是 $\overrightarrow{OE}=(1+\cos \theta ,\sin \theta ),\overrightarrow{CF}=(\cos \theta -1,\sin \theta ),$ $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{CF}=(1+\cos \theta )(\cos \theta -1)+{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta -1+{\sin }^2\theta =0,$ 所以 $CF\perp OE$。 又 $CF\perp BD$，$OE\cap BD=O$，$OE,BD\subset$ 平面 $BDE$， 故 $CF\perp$ 平面 $BDE$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与垂直的判定

核心方法：平行四边形造线线平行；面面垂直性质造线面垂直

避坑指南：证 $AF\parallel$ 面 $BDE$ 必须交代 $AF$ 不在该平面内；证垂直要凑齐”垂直于平面内两条相交直线”，$CF\perp OE$ 与 $CF\perp BD$ 缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的标准路径：在目标平面内找（造）一条与已知直线平行的线。

结论推广：面面垂直的性质：一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面。

方法推广：设角参数 $\theta$ 用数量积证垂直，是四边形形状不定时的好办法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角