2008-陕西卷理-09 单-面面垂直

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系、面面垂直的性质定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 如图，$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，$A\in \alpha ,B\in \beta$，$A,B$ 到 $l$ 的距离分别为 $a$ 和 $b$，$AB$ 与 $\alpha ,\beta$ 所成的角分别为 $\theta$ 和 $\phi$，$AB$ 在 $\alpha ,\beta$ 内的射影分别为 $m$ 和 $n$，若 $a>b$，则 ()

A. $\theta >\phi ,m>n$　　B. $\theta >\phi ,m<n$　　C. $\theta <\phi ,m<n$　　D. $\theta <\phi ,m>n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：作 $A{A}^{\prime }\perp l$ 于 $A^{\prime }$，$B{B}^{\prime }\perp l$ 于 $B^{\prime }$。利用面面垂直的性质定理可知，$A{A}^{\prime }\perp \beta$ 且 $B{B}^{\prime }\perp \alpha$，进而明确 $A^{\prime },B^{\prime }$ 分别是 $A,B$ 在两个平面内的垂足。由此可确定线面角 $\theta =\angle BA{B}^{\prime }$，$\phi =\angle AB{A}^{\prime }$，且射影 $m=A{B}^{\prime }$，$n=A^{\prime }B$。
2. 第二步逻辑：在 $\text{Rt}△BA{B}^{\prime }$ 和 $\text{Rt}△AB{A}^{\prime }$ 中，斜边均为 $AB$。利用正弦函数定义表示出 $\sin \theta =\frac{b}{AB}$ 和 $\sin \phi =\frac{a}{AB}$。由 $a>b$ 推出角的大小关系；再利用勾股定理写出 $m$ 和 $n$ 的表达式，从而比较出射影长短。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

如图，在平面 $\alpha$ 内过点 $A$ 作 $A{A}^{\prime }\perp l$ 于 $A^{\prime }$，在平面 $\beta$ 内过点 $B$ 作 $B{B}^{\prime }\perp l$ 于 $B^{\prime }$。 因为 $\alpha \perp \beta$ 且 $\alpha \cap \beta =l$，由面面垂直的性质定理可得： $A{A}^{\prime }\perp \beta$， $B{B}^{\prime }\perp \alpha$。 由此可知，$A{A}^{\prime }=a$，$B{B}^{\prime }=b$。

• 对于直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角：由于 $B{B}^{\prime }\perp \alpha$，则 $AB$ 在 $\alpha$ 内的射影为 $A{B}^{\prime }$，即 $m=A{B}^{\prime }$，且 $\angle BA{B}^{\prime }=\theta$ 为所成角。
• 对于直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角：由于 $A{A}^{\prime }\perp \beta$，则 $AB$ 在 $\beta$ 内的射影为 $A^{\prime }B$，即 $n=A^{\prime }B$，且 $\angle AB{A}^{\prime }=\phi$ 为所成角。

在 $\text{Rt}△BA{B}^{\prime }$ 中，$\sin \theta =\frac{B{B}^{\prime }}{AB}=\frac{b}{AB}$， $m=A{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-b^2}$； 在 $\text{Rt}△AB{A}^{\prime }$ 中，$\sin \phi =\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{AB}$， $n=A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2-a^2}$。 因为 $a>b>0$，所以 $\sin \phi >\sin \theta$。 由于 $\theta ,\phi$ 均为锐角，正弦函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增， 所以 $\theta <\phi$。 又因为 $a>b⟹a^2>b^2⟹A{B}^2-a^2<A{B}^2-b^2$， 所以 $\sqrt{A{B}^2-a^2}<\sqrt{A{B}^2-b^2}$，即 $n<m⟹m>n$。 综上所述，$\theta <\phi$ 且 $m>n$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质定理的作线应用、线面角的三角函数度量、射影几何定理。
2. 核心方法：射影转化与定量代数法。将空间中抽象的长短高低关系转化为同一个直角三角形或共斜边三角形的解析式比较。
3. 避坑指南：本题容易混淆 $\theta$ 和 $\phi$ 的对边。记住：线面角正弦值等于“点到面的距离”除以“斜线段长”。因为 $a$ 是 $A$ 到面 $\beta$ 的距离，所以 $\sin \phi =\frac{a}{AB}$；而 $b$ 是 $B$ 到面 $\alpha$ 的距离，所以 $\sin \theta =\frac{b}{AB}$。容易主观臆断导致对边张冠李戴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是考查立体几何空间感知能力的经典好题，源自对直角二面角内两点间连线及其双向射影性质的数理探讨。
2. 结论推广：在直角二面角 $\alpha -l-\beta$ 中，设斜线段在两面内的射影分别为 $m,n$，斜线段与两面所成的角为 $\theta ,\phi$，端点到棱的距离为 $a,b$。其核心定量关系满足关系式：$m^2+a^2=n^2+b^2=A{B}^2$，且 ${\sin }^2\theta +{\sin }^2\phi +{\cos }^2\gamma =1$（其中 $\gamma$ 为 $AB$ 与棱 $l$ 的夹角）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直