2008-陕西卷理-15 填-向量

本题导读

本题通过三个覆盖不同维度的向量命题，全面考查平面向量的数量积性质、共线坐标条件以及和差向量的几何特征，侧重于逻辑辨析与基础运算。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 关于平面向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$.有下列三个命题： ① 若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$，则 $\mathbf{b}=\mathbf{c}$； ② 若 $\mathbf{a}=(1,k)$，$\mathbf{b}=(-2,6)$，$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，则 $k=-3$； ③ 非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$. 其中真命题的序号为 $\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 命题①：向量数量积的乘法不满足消去律，考虑 $\mathbf{a}=0$ 或 $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}-\mathbf{c})$ 的特殊情况。
2. 命题②：利用平面向量共线的坐标充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 直接列式求解。
3. 命题③：利用向量加减法的几何意义，将条件转化为以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的菱形结构，分析对角线所成夹角。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

• 对于①：由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$ 得 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=0$。若 $\mathbf{a}=0$ 或 $\mathbf{a}\perp (\mathbf{b}-\mathbf{c})$，即使 $\mathbf{b}\ne \mathbf{c}$ 命题亦成立，故①为假命题；
• 对于②：因为 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，所以 $1\times 6-(-2)\times k=0$，解得 $k=-3$，故②为真命题；
• 对象③：由 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 可知，以 $\mathbf{a}，\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形为菱形，且 $\mathbf{a}，\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 构成等边三角形，故 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$。而 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 表现为该菱形的对角线，平分 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，故 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的夹角为 $30^{\circ }$，故③为假命题。

综上所述，真命题的序号为 ②。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的非消去性、向量平行的坐标运算、向量加减法的几何意义。
2. 核心方法：反例否定法（处理抽象全称命题）、数形结合法（处理模与夹角的多边形几何关系）。
3. 避坑指南：

• 极易套用实数乘法消去律而误判①为真；
• 容易混淆 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 在几何图形中的两条对角线位置，或忘记菱形对角线具有角平分线对称性导致夹角减半计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中对向量共线坐标表示与数量积运算性质的经典辨析题，旨在强调向量代数运算与实数代数运算的本质区别。
2. 结论推广: 若非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，则其对应的几何模型为顶角为 $60^{\circ }$ 的菱形，此时 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的夹角恒为 $30^{\circ }$。若条件改为 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的夹角恒为 $60^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线