2008-陕西卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题以三棱台为载体，全面考查空间空间线面位置关系及二面角的度量。第一问通过平面几何计算结合线面垂直定理证明面面垂直；第二问利用建系引入空间向量，通过求解两平面的法向量夹角得到二面角的大小。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 三棱锥被平行于底面 $ABC$ 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 $A_1{B}_1{C}_1$，$\angle BAC=90^{\circ }$，$A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$，$A_{1}A=\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{2}$，$AC=2$，$A_1{C}_1=1$，$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$.

(1)证明：平面 $A_{1}AD\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$；

(2)求二面角 $A-C{C}_1-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用勾股定理求出 $BC$，在 $△ABC$ 中利用余弦定理计算 $AD$，通过勾股定理逆定理证出 $AD\perp BC$。再结合 $A_{1}A\perp BC$ 即可证得 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AD$，从而得出面面垂直。
2. 第二问：以 $A$ 为原点， $AB,AC,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。利用棱台性质延长各侧棱相交于一点（恢复成大三棱锥），求出各关键顶点坐标，计算出平面 $AC{C}_1$ 和平面 $BC{C}_1$ 的法向量，进而由向量夹角公式求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=\sqrt{2}$，$AC=2$， 所以 $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}$，$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 因为 $\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$，所以 $CD=\frac{2}{3}BC=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。 在 $△ADC$ 中，由余弦定理得： $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2-2AC\cdot CD\cos C=2^2+{\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)}^2-2\times 2\times \frac{2\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{4}{3}$ 因为 $A{D}^2+C{D}^2=\frac{4}{3}+\frac{8}{3}=4=A{C}^2$，所以 $\angle ADC=90^{\circ }$，即 $AD\perp BC$。 又 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$，$BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_{1}A\perp BC$。 因为 $A_{1}A\cap AD=A$，所以 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AD$。 又 $BC\subset$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，所以平面 $A_{1}AD\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$。

(2)解：以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$，使 $AB$ 轴为 $x$ 轴，$AC$ 轴为 $y$ 轴，$A{A}_1$ 轴为 $z$ 轴。 由于截面 $A_1{B}_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$，且 $\frac{A_1{C}_1}{AC}=\frac{1}{2}$，可知该几何体为三棱台，其相似比为 $\frac{1}{2}$。 延长侧棱 $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ 交于点 $P$，则 $A_1$ 为 $PA$ 的中点，由 $A{A}_1=\sqrt{3}$ 得 $P(0,0,2\sqrt{3})$。 各点坐标分别为：$A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2},0,0)$，$C(0,2,0)$。 因为 $C_1$ 为 $PC$ 的中点，由中点坐标公式可得 $C_1\left(0,1,\sqrt{3}\right)$。 易知平面 $AC{C}_1$ 即为 $yz$ 平面，其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$。 设平面 $BC{C}_1$（即平面 $PBC$）的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{2},2,0),\overrightarrow{CP}=(0,-2,2\sqrt{3})$ 由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x+2y=0\\ -2y+2\sqrt{3}z=0\end{array}$ 令 $z=1$，解得 $y=\sqrt{3}$，$x=\sqrt{6}$，即 ${\mathbf{n}}_2=(\sqrt{6},\sqrt{3},1)$。 $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\sqrt{6}}{1\times \sqrt{6+3+1}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ 由图可知，二面角 $A-C{C}_1-B$ 为锐角， 所以二面角 $A-C{C}_1-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质与判定、面面垂直的判定定理、空间向量坐标法求解立体几何。
2. 核心方法：利用台体相似比“复原”大棱锥，从而通过顶点快速求出上底面点的空间坐标。
3. 避坑指南：

• 第一问中容易误认为 $AD$ 是 $△ABC$ 的高线而直接套用，必须通过数值（余弦定理或射影定理）完成严谨的逻辑证明；
• 第二问求上底面坐标时，切忌盲目主观编造，必须严格根据台体性质利用侧棱共点（或向量共线）规律求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由教材中“空间向量与立体几何”章节的经典棱台模型改编而来，重点考查将立体图形补全为大棱锥的“补形法”思想。
2. 结论推广: 若直角三棱台的侧棱垂直于底面直角顶点，且上下底面相似比为 $k$，则通过建立空间直角坐标系，所有顶点的坐标均可通过顶点 $P(0,0,H)$ 与下底面各点坐标的定比分点公式直接写出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直