2009-上海卷理-08 填-球

本题导读

本题考查球的表面积公式、代数式的等价变形，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知三个球的半径 $R_1,R_2,R_3$ 满足 $R_1+2R_2=3R_3$，则它们的表面积 $S_1,S_2,S_3$ 满足的等量关系是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 公式逆写：已知球的表面积公式为 $S=4\pi R^2$，反解出半径与表面积的关系式 $R=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi }}$。

2. 等式代换：将三个球的半径代数式整体代入已知线性方程 $R_1+2R_2=3R_3$ 中，两边约去公因式即可得到关于面积的等量关系。

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$\sqrt{S_1}+2\sqrt{S_2}=3\sqrt{S_3}$

✍【详细解析】

Abstract

由球的表面积公式 $S=4\pi R^2(R>0)$ 可得： $R_1=\frac{\sqrt{S_1}}{2\sqrt{\pi }},R_2=\frac{\sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi }},R_3=\frac{\sqrt{S_3}}{2\sqrt{\pi }}$ 将上述关系式代入已知等式 $R_1+2R_2=3R_3$ 中，得： $\frac{\sqrt{S_1}}{2\sqrt{\pi }}+2\cdot \frac{\sqrt{S_2}}{2\sqrt{\pi }}=3\cdot \frac{\sqrt{S_3}}{2\sqrt{\pi }}$ 方程两边同时乘以公分母 $2\sqrt{\pi }$，化简得： $\sqrt{S_1}+2\sqrt{S_2}=3\sqrt{S_3}$ 故填 $\sqrt{S_1}+2\sqrt{S_2}=3\sqrt{S_3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的表面积与半径的定量对应关系。

2. 核心方法：利用代数式整体置换，化几何体积/面积问题为纯代数根式方程。

3. 避坑指南：切勿盲目把已知条件两边直接平方（如错写成 $S_1+4S_2=9S_3$），必须牢记面积与半径的平方成正比，因而半径与面积的算术平方根成正比。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查立体几何三维几何体基本公式的变形题，通过抽象函数线性组合测试公式逆向推导能力。

2. 结论推广: 若几何体的面积（或体积）满足 $S=k\cdot L^2$（$L$ 为线性特征尺度），则当尺度满足 $\sum c_i{L}_i=0$ 时，对应的面积关系恒为 $\sum c_i\sqrt{S_i}=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$\surd S1+2\surd S2=3\surd S3.$

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积
• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积