2009-北京卷理-11 填-导数

本题导读

本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 设 $f(x)$ 是偶函数. 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线的斜率为 1，则该曲线在 $(-1,f(-1))$ 处的切线的斜率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由导数的几何意义，曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 1 对应代数式 $f^{\prime }(1)=1$。
2. 根据 $f(x)$ 是偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，对两边进行复合求导，分析导函数 $f^{\prime }(x)$ 的奇偶性特征。
3. 建立 $f^{\prime }(-1)$ 与 $f^{\prime }(1)$ 的相反数对应关系，从而求得目标切线斜率。

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 1，根据导数的几何意义有： $f^{\prime }(1)=1$ 又因为 $f(x)$ 是偶函数，所以满足： $f(-x)=f(x)$ 两边同时对自变量 $x$ 求导（左边运用复合函数求导法则）： $-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)⟹f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$ 这表明，一个可导的偶函数，其导函数 $f^{\prime }(x)$ 必然是一个奇函数。 令 $x=1$，代入上述奇函数的结论式中可得： $f^{\prime }(-1)=-f^{\prime }(1)$ 因为已知 $f^{\prime }(1)=1$，所以： $f^{\prime }(-1)=-1$ 即曲线在 $(-1,f(-1))$ 处的切线斜率为 $-1$。 填空答案：$-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线斜率等于该点处的导数值）；偶函数与奇函数在求导后的性质转化。
2. 核心方法：几何图象轴对称分析法。
3. 避坑指南：本题有非常直观的几何解法。偶函数的图象关于 $y$ 轴左右对称。如果在右侧 $(1,f(1))$ 处有一条向右上方倾斜（斜率为 1）的切线，那么沿 $y$ 轴翻折到左侧 $(-1,f(-1))$ 处，整条切线也会随之发生轴对称翻折，其倾斜角与原倾斜角互补，因此斜率直接变号为 $-1$。切忌主观臆断认为两侧对称点的切线斜率完全一样。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中导数几何意义与函数对称性交汇的综合练习题，侧重对基本概念内在逻辑关联的考查。
2. 结论推广：

• 任意可导的偶函数，其导函数必为奇函数；关于 $y$ 轴对称点处的切线斜率互为相反数。
• 任意可导的奇函数，其导函数必为偶函数；关于原点对称点处的切线斜率完全相同。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较