2009-北京卷理-18 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 设函数 $f(x)=x{e}^{kx}(k\ne 0)$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(3) 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求出 $f(0)$ 和导函数 $f^{\prime }(x)$，代入 $x=0$ 求得切线斜率，由点斜式写出切线方程。
2. 第二问：由 $f^{\prime }(x)=(1+kx)e^{kx}$，因 $e^{kx}>0$，其正负由 $1+kx$ 决定。根据 $k>0$ 和 $k<0$ 分类讨论求解单调区间。
3. 第三问：函数在 $(-1,1)$ 内单调递增，等价于 $(-1,1)$ 是单调递增区间的子集，根据第二问结论建立关于 $k$ 的不等式求解。

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$k$ 的取值范围是 $[-1,0)\cup [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $f(x)=x{e}^{kx}$，所以 $f(0)=0$。 求导得： $f^{\prime }(x)=e^{kx}+kx{e}^{kx}=(1+kx)e^{kx}$。 所以曲线在点 $(0,f(0))$ 处的切线斜率为 $k_{\text{切}}=f^{\prime }(0)=1$。 故切线方程为 $y-0=1\times (x-0)$，即 $x-y=0$。

(2) 由 $f^{\prime }(x)=(1+kx)e^{kx}$，因为对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒有 $e^{kx}>0$： ① 当 $k>0$ 时： 令 $f^{\prime }(x)>0⟹1+kx>0⟹x>-\frac{1}{k}$； 令 $f^{\prime }(x)<0⟹1+kx<0⟹x<-\frac{1}{k}$。 此时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\frac{1}{k},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{k}\right)$。 ② 当 $k<0$ 时： 令 $f^{\prime }(x)>0⟹1+kx>0⟹x<-\frac{1}{k}$； 令 $f^{\prime }(x)<0⟹1+kx<0⟹x>-\frac{1}{k}$。 此时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{k}\right)$，单调递减区间为 $\left(-\frac{1}{k},+\infty \right)$。

(3) 因为函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，所以区间 $(-1,1)$ 必须是 $f(x)$ 单调递增区间的子集。 ① 当 $k>0$ 时，由 (2) 知单调递增区间为 $\left(-\frac{1}{k},+\infty \right)$。 则有 $(-1,1)\subseteq \left(-\frac{1}{k},+\infty \right)⟹-\frac{1}{k}⩽-1⟹\frac{1}{k}⩽1$。 由于 $k>0$，解得 $k⩾1$。 ② 当 $k<0$ 时，由 (2) 知单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{k}\right)$。 则有 $(-1,1)\subseteq \left(-\infty ,-\frac{1}{k}\right)⟹1⩽-\frac{1}{k}⟹\frac{1}{k}⩽-1$。 由于 $k<0$，解得 $-1⩽k<0$。 综上所述， $k$ 的取值范围是 $[-1,0)\cup [1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线方程的求解；含参一元一次不等式的分类讨论；区间子集关系的建立。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 在第 (2) 问解不等式 $1+kx>0$ 时，务必对 $k$ 的正负号进行分类讨论，因为不等式两边同除以负数时需要改变不等号方向。
• 在第 (3) 问建立子集包含关系时，注意临界点可以取等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中导数与指数函数复合模型的经典性质探究题。
2. 结论推广：形如 $f(x)=x^n{e}^{kx}$ 的函数在高等数学和高考压轴题中极为常见，其极值点分布与单调性规律通常可以通过对导数多项式部分的零点讨论来统一解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较