2009-大纲卷I理-11 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性、函数的周期性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，若 $f(x+1)$ 与 $f(x-1)$ 都是奇函数，则 ()

A. $f(x)$ 是偶函数　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)$ 是奇函数

C. $f(x)=f(x+2)$　　　　　　　　　　　　　D. $f(x+3)$ 是奇函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 思路一（代数法）：依据 $f(x+1)$ 是奇函数，得到关于中心对称的等式，变形为 $f(2-x)=-f(x)$；同理依据 $f(x-1)$ 是奇函数得到 $f(-2-x)=-f(x)$。联立两式可求得函数的周期为 4，再对选项逐一分析。
2. 思路二（特值法）：通过构造满足题意的特殊三角函数（如 $\sin \pi x$ 或 $\cos \frac{\pi }{2}x$），快速排除错误干扰项。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（代数法）： 因为 $f(x+1)$ 是奇函数，所以 $f(-x+1)=-f(x+1)$。 用 $x-1$ 代替等式中的 $x$，得：$f(2-x)=-f(x)$ ① 因为 $f(x-1)$ 是奇函数，所以 $f(-x-1)=-f(x-1)$。 用 $x+1$ 代替等式中的 $x$，得：$f(-2-x)=-f(x)$ ② 由①②可知：$f(2-x)=f(-2-x)$。 用 $-x$ 代替 $x$ 得：$f(2+x)=f(-2+x)$，即 $f(x+4)=f(x)$，说明函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$。 对于选项 D，设 $F(x)=f(x+3)$，则： $F(-x)=f(-x+3)=f(2-(x-1))$ 由①式知 $f(2-(x-1))=-f(x-1)$。 又因为周期 $T=4$，所以： $-f(x-1)=-f(x-1+4)=-f(x+3)=-F(x)$ 满足 $F(-x)=-F(x)$，说明 $f(x+3)$ 是奇函数。 故选 D

解法二（特殊函数法）： 构造函数 $f(x)=\sin (\pi x)$，此时 $f(x+1)=-\sin (\pi x)$ 和 $f(x-1)=-\sin (\pi x)$ 均为奇函数。 此时 $f(x)$ 为奇函数，可排除 A。 再构造函数 $f(x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)$，此时 $f(x+1)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$ 和 $f(x-1)=\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$ 仍均为奇函数。 此时 $f(x)$ 为偶函数，可排除 B；且 $f(x+2)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}x\right)=-f(x)\ne f(x)$，排除 C。 对于选项 D：$f(x+3)=\cos \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$ 为奇函数，符合题意。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的对称性轴/中心与周期性的交织推导。
2. 核心方法：

• 若 $f(x+a)$ 是奇函数，则 $f(x)$ 关于点 $(a,0)$ 中心对称。
• 若函数关于两个点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 中心对称，则其必为周期函数，且周期 $T=2|a-b|$。

3. 避坑指南：解答抽象函数选择题时，纯代数推导容易在符号变换中出错。利用正余弦函数构造特例不仅能迅速排除错误项，还能有效加深对抽象性质的直观理解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中函数基本性质的深化拓展，是高考选择题中考查函数综合性质的经典压轴题型。
2. 结论推广：若 $f(x+a)$ 与 $f(x+b)$ 均为奇函数 ($a\ne b$)，则 $f(x)$ 具有周期 $T=2|a-b|$，且 $f(x+2a-b)$ 必为奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性