2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率

本题导读

考查抛物线焦点弦。$|FA|=x_A+2$、$|FB|=x_B+2$，由 $|FA|=2|FB|$ 与 $x_A{x}_B=4$ 解出两根，再用根和定 $k$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知直线 $y=k(x+2)$（$k>0$）与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A$、$B$ 两点，$F$ 为 $C$ 的焦点.若 $|FA|=2|FB|$，则 $k=$ ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点 $F(2,0)$，$|FA|=x_A+2$，$|FB|=x_B+2$，条件即 $x_A+2=2(x_B+2)$，$x_A=2x_B+2$。
2. 联立 $k^2(x+2{)}^2=8x$：$k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$，$x_A{x}_B=4$。
3. $(2x_B+2)x_B=4\Rightarrow x_B=1$，$x_A=4$；$x_A+x_B=5=\frac{8-4k^2}{k^2}$，解 $k^2=\frac{8}{9}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $F(2,0)$，由焦半径公式 $|FA|=x_A+2$，$|FB|=x_B+2$。 由 $|FA|=2|FB|$ 得 $x_A+2=2(x_B+2)$，即 $x_A=2x_B+2$。 联立直线与抛物线：$k^2(x+2{)}^2=8x$，即 $k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0,$ 由韦达定理 $x_A{x}_B=\frac{4k^2}{k^2}=4$。代入 $x_A=2x_B+2$： $(2x_B+2)x_B=4⟹x_B^2+x_B-2=0⟹x_B=1(x_B=-2\text{舍去，因}x>0),$ 故 $x_A=4$。又 $x_A+x_B=\frac{8-4k^2}{k^2}$，即 $5=\frac{8}{k^2}-4⟹k^2=\frac{8}{9}.$ 由 $k>0$ 得 $k=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦与焦半径

核心方法：焦半径化横坐标 + 韦达定理

避坑指南：$|FA|=x_A+2$（$p=4$，准线 $x=-2$）；由比例与 $x_A{x}_B=4$ 先定两根，再回代根和求 $k$，两步不要混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦问题统一走”焦半径 = 横坐标 + $\frac{p}{2}$”。

结论推广：$y^2=2px$ 的通径、焦点弦比例都只与横坐标有关。

方法推广：涉及斜率时用韦达定理把根和表示成 $k$ 的函数，再解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径
• 2013-江西卷文-09 单-抛物线焦半径比
• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径