2009-天津卷理-12 填-三视图

本题导读

本题考查几何体的三视图及其体积计算，需要通过三视图准确还原空间几何体的形状与各部分尺寸。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 如图是一个几何体的三视图, 若它的体积是 $3\sqrt{3}$, 则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析三视图可知，该几何体是一个横放的直三棱柱。其底面为侧视图所示的三角形，棱柱的高（长度）为正视图的宽度 3。

2. 表达出底面三角形的面积，进而利用柱体体积公式 $V=Sh$ 建立关于 $a$ 的方程求解。

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱： 底面为等腰三角形（对应侧视图），底边长为 2，高为 $a$； 三棱柱的高为 3（对应正视图与俯视图的长度）。 底面三角形的面积为： $S=\frac{1}{2}\times 2\times a=a$ 几何体的体积为： $V=S\times h=a\times 3=3a$ 已知体积为 $3\sqrt{3}$，则： $3a=3\sqrt{3}⟹a=\sqrt{3}$ 答案为：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根据三视图还原空间几何体，直三棱柱的体积计算。

2. 核心方法：形体转化法，抓住“长对正、高平齐、宽相等”的原则确定几何体各尺寸。

3. 避坑指南：误将几何体当成四棱锥或长方体。俯视图中间的横线代表三棱柱顶部的侧棱在底面的投影，由此可确认为三棱柱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中立体几何初步章节关于多面体三视图与体积的常规训练题。

2. 结论推广: 对于底面为三角形且侧棱垂直于底面的直三棱柱，若底面积为 $S$，侧棱长为 $L$，其体积恒有 $V=SL$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$\surd 3$

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2012-天津卷理-10 填-三视图体积