2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解

本题导读

考查向量基底分解。$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}$，$\overrightarrow{AF}=\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d}$，比较系数得 $\lambda =\mu =\frac{2}{3}$，$\lambda +\mu =\frac{4}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 和 $F$ 分别是边 $CD$ 和 $BC$ 的中点.若 $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AE}+\mu \overrightarrow{AF}$，其中 $\lambda$，$\mu \in \mathbf{R}$，则 $\lambda +\mu =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 令 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$，则 $\overrightarrow{AC}=\mathbf{b}+\mathbf{d}$。
2. $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}$，$\overrightarrow{AF}=\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d}$。
3. 比较系数：$\frac{\lambda }{2}+\mu =1$，$\lambda +\frac{\mu }{2}=1$，解得 $\lambda =\mu =\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，令 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$，则 $\overrightarrow{AC}=\mathbf{b}+\mathbf{d}$。 因为 $E$，$F$ 分别是 $CD$，$BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}$，$\overrightarrow{AF}=\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d}$。 代入题设得 $\mathbf{b}+\mathbf{d}=\lambda \left(\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}\right)+\mu \left(\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d}\right)$。 比较 $\mathbf{b}$，$\mathbf{d}$ 的系数，得到 $\frac{\lambda }{2}+\mu =1$，$\lambda +\frac{\mu }{2}=1$。两式相减得 $\lambda =\mu$，所以 $\lambda =\mu =\frac{2}{3}$，从而 $\lambda +\mu =\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的线性运算与基底分解

核心方法：选定基底比较系数

避坑指南：$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}$ 的来历：$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；系数比较得二元一次方程组，对称性提示 $\lambda =\mu$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基底法是向量小题的通性通法。

结论推广：平面向量基本定理：基底选定后分解唯一。

方法推广：比较系数前先把两边都写成同一组基底的线性组合，杂糅坐标容易错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2011-江苏卷-10 填-向量数量积基底运算
• 2011-江西卷文-11 填-向量数量积基底运算