2009-山东卷文-14 填-函数零点

本题导读

考查零点个数。$0<a<1$ 时 $g$ 严格递减只有一零点；$a>1$ 时 $g(0)<0$、两端趋 $+\infty$，恰两零点，故 $a>1$。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 若函数 $f(x)=a^x-x-a$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $g(x)=a^x-x-a$，$g(0)=1-a$。
2. 当 $0<a<1$：$g^{\prime }(x)=a^x\ln a-1<0$，$g$ 严格递减，至多一个零点，不合。
3. 当 $a>1$：$g(0)=1-a<0$；$x\to -\infty$ 时 $a^x\to 0$，$g\to +\infty$，有一个负零点；$x\to +\infty$ 时 $g\to +\infty$，又 $g(0)<0$，有一个正零点。共两个零点。

✅【答案】

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$a>1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=a^x-x-a$，其零点即 $f(x)$ 的零点。 当 $0<a<1$ 时，$g^{\prime }(x)=a^x\ln a-1<0$ 恒成立，$g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递减，至多一个零点，不合题意。 当 $a>1$ 时，$g(0)=1-a<0$；当 $x\to -\infty$ 时 $a^x\to 0$，$g(x)\to +\infty$，故在 $(-\infty ,0)$ 内有一个零点； 当 $x\to +\infty$ 时 $g(x)\to +\infty$，而 $g(0)<0$，故在 $(0,+\infty )$ 内也有一个零点。 所以 $f(x)$ 恰有两个零点时 $a>1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点个数与参数

核心方法：构造差函数，按 $a$ 范围讨论单调性与两端极限

避坑指南：$g(x)=a^x-x-a$：$0<a<1$ 时 $g^{\prime }=a^x\ln a-1<0$ 恒成立至多一零点；$a>1$ 时 $g(0)=1-a<0$ 且两端 $\to +\infty$，恰两零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点个数问题把”$f$ 的零点”直接当成研究对象，不必拆成两个函数交点（拆也可以）。

结论推广：指数函数 $\ln a$ 的符号随 $a$ 与 $1$ 的大小翻转，这是分类的根源。

方法推广：端点信息 $g(0)=1-a$ 是 $a>1$ 情形的关键：$g(0)<0$ 保证两侧各有一根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2011-安徽卷文-18 解-分式指数函数极值与单调
• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点