2009-山东卷理-08 单-频率分布直方

本题导读

本题考查通过频率分布直方图获取样本数据信息并进行计算。解题的关键是理解直方图中“小矩形面积 = 频率”的规律，并灵活运用“频数 = 样本容量 $\times$ 频率”的关系。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 $[96,106]$，样本数据分组为 $[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]$，已知样本中产品净重小于 $100$ 克的个数是 $36$，则样本中净重大于或等于 $98$ 克并且小于 $104$ 克的产品个数是 ()

A. 90　　　　　　　B. 75　　　　　　　C. 60　　　　　　　D. 45

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确组距：由分组区间可知组距 $d=2$。
2. 求出已知区间的频率与总数：

• 净重小于 $100$ 克的区间包含 $[96,98)$ 与 $[98,100)$。
• 利用小矩形面积求出这两个区间的频率之和，进而结合其频数 $36$ 求出样本容量 $N$。

3. 计算目标区间的频数：

• 确定目标区间为 $[98,104)$，包含三个子区间。

• 算出其对应的总频率，再乘以样本容量 $N$，得出目标产品个数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定组距： 组距 $d=98-96=2$。

2. 求样本容量 $N$： 由直方图可知：

• 区间 $[96,98)$ 的频率为：$P_1=0.050\times 2=0.10$；
• 区间 $[98,100)$ 的频率为：$P_2=0.100\times 2=0.20$。 所以产品净重小于 $100$ 克的频率之和为： $P_{<100}=P_1+P_2=0.10+0.20=0.30$ 因为对应的频数（个数）为 $36$， 所以样本容量为： $N=\frac{36}{0.30}=120$

3. 求目标区间的频数： 目标区间为 $[98,104)$，它包含 $[98,100),[100,102),[102,104)$。 对应的各区间频率分别为：

• $[98,100)$ 的频率：$0.100\times 2=0.20$；

• $[100,102)$ 的频率：$0.150\times 2=0.30$；

• $[102,104)$ 的频率：$0.125\times 2=0.25$。 所以目标区间的总频率为： $P_{[98,104)}=0.20+0.30+0.25=0.75$ 因此，该范围内的产品个数为： $\text{个数}=N\times P_{[98,104)}=120\times 0.75=90$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中，小矩形的面积表示对应组的频率。

2. 核心方法：熟练运用公式：$\text{频率}=\text{纵坐标(频率/组距)}\times \text{组距}$，以及 $\text{频数}=\text{样本容量}\times \text{频率}$。

3. 避坑指南：直方图的纵轴是“$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$”，在计算频率时，千万不要直接用纵坐标的高度相加，必须乘以组距（本题组距为 $2$）。如果不乘组距直接将高度相加算作频率，会导致计算逻辑彻底混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的概率统计基础应用题，源自课本中对频率分布直方图概念的直接考查，意在评估学生处理图表数据的基本功。

2. 结论推广：在任何频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和恒等于 1，即 $\sum (\text{矩形高度}\times \text{组距})=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-02 单-频率分布估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计
• 2011-浙江卷文-13 填-频率分布直方图