2009-广东卷文-02 单-复数幂

本题导读

考查复数幂。$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，四选项中仅 $n=4$ 使 $i^n=1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 下列 $n$ 的取值中，使 $i^n=1$（$i$ 是虚数单位）的是 ()

A. $n=2$　　　　　　B. $n=3$　　　　　　C. $n=4$　　　　　　D. $n=5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=i^2\times i^2=1$，$i^5=i$。
2. 幂以 $4$ 为周期，$i^n=1⟺n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$。
3. 四个取值中只有 $n=4$ 满足。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

虚数单位的幂以 $4$ 为周期，且 $i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$。 给出的四个取值中只有 $n=4$ 时 $i^n=1$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：虚数单位的幂运算

核心方法：$i^2=-1$，幂以 $4$ 为周期，$i^4=1$

避坑指南：$i^n=1⟺4\mid n$；$n=5$ 时 $i^5=i\ne 1$，周期数错就选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：写全 $i$，$i^2$，$i^3$，$i^4$ 四个值再对号。

结论推广：$i^4=i^2\times i^2=(-1{)}^2=1$，与 $(-i{)}^2=1$ 区分。

方法推广：负指数或分数指数的复数幂也按周期 $4$ 化，套路一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2011-福建卷文-02 单-复数幂运算
• 2012-湖南卷文-02 单-共轭复数
• 2012-江苏卷-03 填-复数除法运算