2009-广东卷文-07 单-正弦定理

本题导读

考查解三角形。$b=\frac{a\sin 30^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times \frac{1}{2}\times \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 已知 $△ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$.若 $a=c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，且 $\angle A=75^{\circ }$，则 $b=$ ()

A. $2$　　　　　　B. $4+2\sqrt{3}$　　　　　　C. $4-2\sqrt{3}$　　　　　　D. $\sqrt{6}-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=c\Rightarrow A=C=75^{\circ }$，$B=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$。
2. $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，故 $a=4\sin 75^{\circ }$。
3. 正弦定理：$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{4\sin 75^{\circ }\times \frac{1}{2}}{\sin 75^{\circ }}=2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a=c$，所以 $\angle A=\angle C=75^{\circ }$，从而 $\angle B=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }$。 由正弦定理，$\frac{b}{\sin 30^{\circ }}=\frac{a}{\sin 75^{\circ }}$。 又 $a=\sqrt{6}+\sqrt{2}=4\sin 75^{\circ }$，所以 $b=\frac{4\sin 75^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=4\times \frac{1}{2}=2$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与等腰三角形

核心方法：$a=c\Rightarrow A=C=75^{\circ }$，$B=30^{\circ }$，$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$

避坑指南：$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，恰使 $a=4\sin 75^{\circ }$，$b=4\sin 30^{\circ }=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见 $a=c$ 立刻得对角相等，再算第三角。

结论推广：$\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })$ 用和角公式现场推，记结论更快。

方法推广：$b=2$ 与选项 D $\sqrt{6}-\sqrt{2}=\frac{4\sin 15^{\circ }}{1}$ 量级明显不同，可自检。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形