2009-广东卷文-10 单-火炬最短路线

本题导读

考查枚举与最值。六条路线中 $A\to C\to D\to B\to E=4+9+6+2=21$ 最短，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 广州 $2010$ 年亚运会火炬传递在 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见下表. 若以 $A$ 为起点，$E$ 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 ()

	A	B	C	D	E
A	0	5	4	5	6
B	5	0	7	6	2
C	4	7	0	9	8.6
D	5	6	9	0	5
E	6	2	8.6	5	0

A. $20.6$　　　　　　B. $21$　　　　　　C. $22$　　　　　　D. $23$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中间城市 $B$，$C$，$D$ 的排列共 $6$ 种，逐一求和。
2. $A\to B\to C\to D\to E=26$；$A\to B\to D\to C\to E=28.6$；$A\to C\to B\to D\to E=22$。
3. $A\to C\to D\to B\to E=4+9+6+2=21$；$A\to D\to B\to C\to E=26.6$；$A\to D\to C\to B\to E=23$。
4. 最短为 $21$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

从 $A$ 到 $E$ 需依次经过 $B$，$C$，$D$ 的某一种排列，六条路线的长度分别为 $A\to B\to C\to D\to E$：$5+7+9+5=26$；$A\to B\to D\to C\to E$：$5+6+9+8.6=28.6$； $A\to C\to B\to D\to E$：$4+7+6+5=22$；$A\to C\to D\to B\to E$：$4+9+6+2=21$； $A\to D\to B\to C\to E$：$5+6+7+8.6=26.6$；$A\to D\to C\to B\to E$：$5+9+7+2=23$。 最短长度为 $21$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：枚举法求最短路径

核心方法：中间城市 $B$，$C$，$D$ 全排列 $3!=6$ 条，逐一求和

避坑指南：对称表读数：$d(A,C)=4$，$d(C,D)=9$，$d(D,B)=6$，$d(B,E)=2$，$A\to C\to D\to B\to E=21$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：五城定两端，中间全排列，枚举量可控（$6$ 条）。

结论推广：表格对称，取上三角即可，读错行是主要失分点。

方法推广：先比较含 $B\to E=2$ 的路线（最短边），往往直奔最优。

🔗【关联脉络】

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