2009-广东卷文-17 解-标识墩三视图

本题导读

考查三视图与体积。$V=40\times 40\times 20+\frac{1}{3}\times 40\times 40\times 60=64000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$；$BD\perp$ 平面 $PEG$ 由 $BD\perp AC$ 与 $BD\perp P{O}_0$ 合力。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 $1$ 所示. 墩的上半部分是正四棱锥 $P-EFGH$，下半部分是长方体 $ABCD-EFGH$. 图 $2$、图 $3$ 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图（单位：cm）.

(1)请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

(2)求该安全标识墩的体积；

(3)证明：直线 $BD\perp$ 平面 $PEG$.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）底面为正方形，左视方向投影与正视相同：侧视图为 $40\times 20$ 矩形上叠底边 $40$、高 $60$ 的等腰三角形。 2.（2）$V_1=40\times 40\times 20=32000$；$V_2=\frac{1}{3}\times 40\times 40\times 60=32000$；$V=64000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。 3.（3）设两正方形中心为 $O_0$，$O$，$P$，$O$，$O_0$ 共线且 $P{O}_0\perp$ 底面；$AC\subset$ 平面 $PEG$（$EG\parallel AC$，$O_0\in AC$）。 4. $BD\perp AC$（正方形对角线），$BD\perp P{O}_0$（线面垂直），$AC$ 与 $P{O}_0$ 是平面 $PEG$ 内相交直线。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2)$64000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由正视图和俯视图可知，底部为边长 $40\mathrm{cm}$、高 $20\mathrm{cm}$ 的矩形， 上部正四棱锥的底边长为 $40\mathrm{cm}$、高为 $60\mathrm{cm}$。由于底面为正方形， 沿左视方向所得的投影与正视方向相同，所以侧视图也是底边长 $40\mathrm{cm}$、高 $20\mathrm{cm}$ 的矩形上叠加一个底边长 $40\mathrm{cm}$、高 $60\mathrm{cm}$ 的等腰三角形。 （2）长方体的体积为 $V_1=40\times 40\times 20=32000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。 正四棱锥的体积为 $V_2=\frac{1}{3}\times 40\times 40\times 60=32000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。 因此标识墩的体积为 $V=V_1+V_2=64000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。 （3）设正方形 $ABCD$ 和 $EFGH$ 的中心分别为 $O_0$ 和 $O$。因为 $P-EFGH$ 是正四棱锥， 所以 $P$，$O$，$O_0$ 共线，且 $P{O}_0$ 垂直于底面 $ABCD$。点 $O$ 在对角线 $EG$ 上， 因此平面 $PEG$ 包含直线 $P{O}_0$。又 $AC\parallel EG$，且 $O_0\in AC$，所以直线 $AC$ 也在平面 $PEG$ 内。 正方形 $ABCD$ 的两条对角线互相垂直，故 $BD\perp AC$；同时 $P{O}_0\perp$ 平面 $ABCD$， 而 $BD$ 在平面 $ABCD$ 内，所以 $BD\perp P{O}_0$。 直线 $AC$ 与 $P{O}_0$ 在 $O_0$ 相交，且二者都在平面 $PEG$ 内， 因此由直线与平面垂直的判定定理，$BD\perp$ 平面 $PEG$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图与组合体体积

核心方法：侧视图与正视图同形（底面正方形）；$V=V_{柱}+V_{锥}$

避坑指南：$V_1=40\times 40\times 20$，$V_2=\frac{1}{3}\times 40\times 40\times 60$，各 $32000$，合计 $64000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：画侧视图先定投影方向：底面正方形时左视 = 正视。

结论推广：组合体分块求积，柱、锥公式分开写。

方法推广：线面垂直证明抓”平面内两条相交直线”：本题取 $AC$ 与 $P{O}_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积
• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角